Seja N o menor inteiro positivo cuja soma dos dígitos é 2021. Qual é a soma dos dígitos de
N +2021
?
(A) 10 (B) 12 (C) 19 (D) 28 (E) 2021
Respostas
Utilizando lógica de números e digitos, vemos que a soma dos digitos de N + 2021 é igual a 10, letra A.
Explicação passo-a-passo:
Vamos pensar primeiramente em alguns fatores de lógica:
Em um número qualquer, um digito tem mais valor quando este está mais para a esquerda e menos valor quando está mais para a direita.
Assim queremos evitar ao maximo colocar valores grandes para a esquerda, pois queremos os MENOR inteiro positivo cuja soma é 2021.
Outro fator importante para se notar é: Se os digitos forem valores grandes sozinhos, então a soma deles é alta mesma sem precisar ter muitas casas decimais, por exemplo:
99 < 102
9 + 9 = 18
1 + 0 + 2 = 3
Ou seja, vale a pena colocar o maximo de digitos '9' possíveis para a direita para que a soma dê 2021 mais rapidamente sem precisar criar mais casas numéricas e deixar o número maior.
Assim sabemos que este número tem diversos '9' no final dele:
... 9999999
E se somarmos estes '9' deve ser igual a um multiplo de 9 menor que 2021, e o maior multiplo de '9', menor que 2021 é 2016:
2016 / 9 = 224
Assim temos ao todo 224 digitos '9', e antes dos '9' basta colocarmos o valor que falta para chegar em 2021:
2021 - 2016 = 5
Então o nosso número em questão é:
N = 5999999 .... (224 vezes o digito '9') ....9999
Assim se somarmos o número 2021 nele, vamos primeiramente por partes, somando somente o '1' de '2021' e deixando '2020' para somar depois, pois desta forma, este '1' irá transformar todos os '9' em '0':
N + 1 = 600000 .... (224 vezes o digito '0') ....0000
E assim quando somarmos o '2020' restante, só ficará este valor no final:
N + 2021 = 60000 ..... 00002020
Assim note que os únicos digitos que não são '0' neste caso é o primeiro que é '6' e os ultimos, então somando eles, temos:
6 + 2 + 2 = 10
E assim vemos que a soma dos digitos de N + 2021 é igual a 10, letra A.
A soma dos dígitos de N + 2021 é 10, ou seja, a alternativa correta é a letra A.
Para chegar a essa resposta deve-se entender que o enunciado nos fornece apenas uma afirmação: a soma dos digitos de N é igual a 2021. Partindo disso, mesmo não sabendo quem é N, podemos entender que para que N seja o menor inteiro possível, o número deve ser formado pelo maior número de 9 possíveis (que é o maior dígito que nós temos), logo, por tentativa e erro temos que:
9 x 224 = 2016
9 x 225 = 2025
O maior número de 9 possíveis é 224. Para chegar a soma de 2021 deverá ser adicionado o dígito 5 (e ele deve vir no início porque se vier em qualquer outra posição formará um número maior), logo, o número N seria:
N = 599999.... (224 vezes)
Se somamos 2021 a esse número temos que:
N + 2021 = 6000000....0002020
Logo, a soma de N + 2021 vai ser:
Soma = 6 + 0 + 0 + .... + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0
Soma = 10
A resposta é 10.
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