Question

14. O número 2021 tem resto 5 quando dividido pelo número 6, pelo número 7, pelo número 8 e pelo número
9. Quantos números inteiros positivos menores do que 2021 têm essa propriedade?
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) nenhum

Answer 1

Há um total de 3 números positivos menores do que 2021 com essa propriedade (Letra (B))

Primeiramente, observemos que, de acordo com o algoritmo da divisão euclidiana, qualquer número $D$ natural quando dividido por outro número natural  $d$, tem quociente $q$ e, possivelmente, um resto $r$. Dessa forma,

$D=dq+r$

De outra forma, esses números são conhecidos como dividendo ($D$), divisor($d$), quociente ($q$) e resto($r$).

Se o número 2021 tem resto 5 quando dividido por 6, 7, 8 e 9, podemos então escrevê-lo como:

$2021=6q_{1} +5$

$2021=7q_{2} +5$

$2021=8q_{3} +5$

$2021=9q_{4} +5$

Subtraindo 5 de ambas as equações, temos:

$2016=6q_{1}$

$2016=7q_{2}$

$2016=8q_{3}$

$2016=9q_{4}$

Logo, conclui-se que 2016 é múltiplo de 6, 7, 8 e 9.

Para encontrarmos outros possíveis números com tal propriedade (múltiplos de 6,7,8 e 9 ao mesmo tempo), basta encontrar primeiramente o M.M.C (Mínimo Múltiplo Comum) de 6, 7, 8 e 9 e ir subtraindo esse valor de 2016.

Dessa forma:

$2016-\text{MMC(6,7,8,9)}=2016-504=1512$

Logo, o 1512 é também múltiplo de 6, 7, 8 e 9. Somando 5 a ele tem-se:

$1512+5=1517$

Assim, o 1517 é também um número que tem resto 5 quando dividido pelo número 6, pelo número 7, pelo número 8 e pelo número  9.

Para investigar se existem outros inteiros positivos menores do que 2021 com tal propriedade, basta continuar como descrito acima, agora a partir do 1512. Dessa forma:

$1512-\text{MMC(6,7,8,9)}=1512-504=1008$

Logo, o 1008 é também múltiplo de 6, 7, 8 e 9. Somando 5 a ele tem-se:

$1008+5=1013$

Assim, o 1013 é também um número que tem resto 5 quando dividido pelo número 6, pelo número 7, pelo número 8 e pelo número  9.

Fazendo agora a partir do 1008:

$1008-\text{MMC(6,7,8,9)}=1008-504=504$

Logo, o 504 é também múltiplo de 6, 7, 8 e 9. Somando 5 a ele tem-se:

$504+5=509$

Assim, o 509 é também um número que tem resto 5 quando dividido pelo número 6, pelo número 7, pelo número 8 e pelo número  9.

Note que, se procedermos mais uma vez como realizado, encontraremos um número negativo. Ou seja, não há mais números números inteiros positivos menores do que 2021 com essa propriedade.

Conclui-se então que os números procurados são 509, 1013 e 1517. Logo:

(B)3

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