as integrais de linha podem ser encontradas em inúmeras aplicações nas ciências exatas, como por exemplo, no cálculo da massa de um fio através da sua densidade e do seu comprimento. considere uma chapa de aço cuja circunferência é determinada através da função cuja densidade é descrita por:
Respostas
Resposta:
Utilizando integral de superficie, temos que esta chapa tem massa igual a 2π.
Explicação:
Para fazermos uma integral de superficie que definirmos a massa de uma chapa, basta integrarmos a densidade ao longo de toda a área da chapa.
Vemos que se a área da chapa é definida pela equação , isto significa que iremos integrar ao longo de um circulo de raio 1:
Assim substituindo nossa densidade, e a área já pelas coordenadas em forma polar, temos que:
Integrando primeiramente no raio, temos que:
Agora basta integramos no angulo, onde vamos separar em duas integrais:
A primeira integral é trivial, então podemos substituir pelo seu resultado:
Para a segundo integral vamos fazer a seguinte substituição:
Ficando com:
Que é uma integral simples de se resolver:
Voltando a coordenada anterior:
Assim temos que esta chapa tem massa igual a 2π.