Calcule o valor da expressão abaixo:
3^x+2 + 3^x+1 / 3^x-1

Anexos:

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

O valor da expressão apresentada pela questão equivale a 36.

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Vamos determinar o valor da seguinte expressão:

$\quad\quad\quad\Large\begin{array}{l}\sf\dfrac{3^{\,x\,+\,2}+3^{\,x\,+\,1}}{3^{\,x\,-\,1}}=~?\end{array}\\\\$

→ A primeira coisa que percebemos é que podemos colocar o fator comum em evidência no numerador. Partindo da propriedade de potências de mesma base na multiplicação

$\quad\quad\quad\quad \ \large\boxed{\begin{array}{l}\sf a^{b\,+\,c}~\Leftrightarrow~a^b\cdot a^c\end{array}}\\\\$

, observe que:

$\\\large\begin{array}{l}\quad\quad\quad\ \ \sf\dfrac{3^{\,x\,+\,2}+3^{\,x\,+\,1}}{3^{\,x\,-\,1}}\\\\\sf\iff~~~\dfrac{3^{\,x\,+\,1\,+\,1}+3^{\,x\,+\,1}}{3^{\,x\,-\,1}}\\\\\sf\iff~~~\dfrac{3^{\,x\,+\,1}\cdot3^1+3^{\,x\,+\,1}}{3^{\,x\,-\,1}}\\\\\sf\iff~~~\dfrac{3^{\,x\,+\,1}\cdot(3+1)}{3^{\,x\,-\,1}}\\\\\sf\iff~~~\dfrac{3^{\,x\,+\,1}\cdot4}{3^{\,x\,-\,1}}\end{array}\\\\$

Dessa forma colocamos o fator 3ˣ⁺¹ em evidência! Agora pela propriedade de potências de mesma base na divisão

$\quad\quad\quad\quad\quad\large\boxed{\begin{array}{l}\sf \dfrac{~a^b}{~a^c}~\Leftrightarrow~a^{b\,-\,c}\end{array}}\\\\$

, obtemos:

$\\\large\begin{array}{l}\sf\iff~~~\dfrac{3^{\,x\,+\,1}\cdot4}{3^{\,x\,-\,1}}\\\\\sf\iff~~~3^{\,x\,+\,1\,-\,(x\,-\,1)}\cdot4\\\\\sf\iff~~~3^{\,x\,+\,1\,-\,x\,+\,1}\cdot4\\\\\sf\iff~~~3^{\,0\,+\,2}\cdot4\\\\\sf\iff~~~3^{\,2}\cdot4\\\\\sf\iff~~~9\cdot4\\\\\sf\quad\!\therefore\quad~~\boldsymbol{\boxed{\sf36}}\end{array}\\\\$