Question

Uma folha retangular de papel tem comprimento x e largura y, sendo x > y. A folha pode ser dobrada de modo a formar a superfície lateral de um cilindro de duas maneiras diferentes. Qual é a razão entre o volume
do cilindro mais longo e o volume do cilindro mais curto?
A) Y² : X²
B) Y:X
C) 1:1
D) X:Y
E) X² : Y²

Answer 1

Utilizando definições geometricas de área e volume, ficamos que a razão entre estes dois volumes é de x/y, letra D.

Explicação passo-a-passo:

Ao dobradormos este folha para ela virar um cilindro, temos duas situações possíveis: Dobrando ao redor de x e dobrando ao redor de y.

Em cada caso, um dos lados vai virar a altura e o outro vai virar a circunferência da base.

Assim vamos calcular o volume do cilindro de cada caso.

Dobrando ao redor de X:

Neste caso temos altura igual a y:

Altura (h) = y

E circunferência igual a x:

C = x

Sabemos que circunferência é calculado com base no raio da base, ou seja:

C = 2 . π . R

Então podemos igualar os dois casos e encontrar este raio:

C = C

x = 2 . π . R

R = x / 2π

E com o raio da base podemos encontrar a área da base:

A = π . R²

A = π . (x / 2π)²

A = x² / 2π

E tendo área da base e altura, sabemos o volume do cilindro:

V = A . h

V = (x² / 2π) . y

V = yx² / 2π

Dobrando ao redor de y:

Neste caso os calculos são o mesmo, porém invertendo x e y, ou seja, altura será x e circunferência y:

h = x

C = y

R = y / 2π

A = y² / 2π

V = xy² / 2π

Razão:

Tendo estes dois valores de volume, podemos fazer a razão entre eles dividindo o primeiro pelo segundo:

( yx² / 2π ) : ( xy² / 2π )

Divisão entre frações, basta inverter a segunda e transformar em uma multiplicação:

( yx² / 2π ) x ( 2π / xy² )

Note que adora temos 2π em cima e em baixo nas frações, então eles se anulam e fica somente:

yx² / xy²

E por fim podemos cortar um 'x' em cima com um de baixo e o mesmo para 'y':

x / y

E assim ficamos que a razão entre estes dois volumes é de x/y, letra D.