Question

Qual é a área do triângulo cujos vértices têm coordenadas (p,q), (3p,q) e (2p,3q) sendo p,q>0?

Answer 1

A área do triângulo cujos vértices têm coordenadas (p,q), (3p,q) e (2p,3q) é 2pq.

Considere que os vértices de um triângulo são os pontos $A(x_a,y_a),B(x_b,y_b),C(x_c,y_c)$. A área do triângulo ABC é calculada da seguinte forma:

• $S=\frac{1}{2}.|det|$, sendo det o determinante da matriz $\left[\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\x_b&y_b&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right]$.

De acordo com o enunciado, os vértices do triângulo são (p,q), (3p,q) e (2p,3q).

Então, a matriz é igual a $\left[\begin{array}{ccc}p&q&1\\3p&q&1\\2p&3q&1\end{array}\right]$. Calculando o determinante dessa matriz, obtemos:

det = p.(q.1 - 3q.1) - q.(3p.1 - 2p.1) + 1.(3p.3q - 2p.q)

det = p.(q - 3q) - q(3p - 2p) + 9pq - 2pq

det = p.(-2q) - q.p + 7pq

det = -2pq - pq + 7pq

det = 4pq.

Observe que |det| = |4pq| = 4pq, porque temos a informação que p e q são maiores que zero.

Portanto, a área do triângulo é igual a:

$S=\frac{4pq}{2}$

S = 2pq.

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