. Os primeiros 1000 números inteiros positivos são escritos em fila, numa certa ordem, e todas as somas de 3 inteiros vizinhos quaisquer da fila são calculadas. Qual é o maior número possível de somas ímpares que podem ser obtidas?
Respostas
O maior número possível de somas ímpares que podem ser obtidas é 2997.
Para chegar a tal conclusão, nos basearemos primeiramente em duas informações importantes do enunciado:
⇒ Os primeiros 1000 números inteiros positivos são escritos em fila, numa certa ordem.
Como não sabemos a ordem dada, teremos que considerar todas as possibilidades possíveis.
⇒ Todas as somas de 3 inteiros vizinhos quaisquer são calculadas.
Dessa forma, teremos somas pares e somas ímpares. Se em certa ordem, os números 42, 21 e 500 são vizinhos, por exemplo, então a soma desses três números é calculada: 42 + 21 + 500 = 563. Nesse caso, temos uma soma ímpar.
Com o objetivo de alcançar o maior número possível para uma soma ímpar, basta observar que teremos essa maior soma quando somarmos os dois maiores números pares com o maior número ímpar. De fato, a soma par + par + ímpar = ímpar, para todo número par ou ímpar.
Dito isso, tomemos então os números 1000, 998 e 999. Considerando todas as possíveis filas, algumas delas terão tais números como vizinhos. A soma 1000 + 998 + 999 = 2997 é uma soma ímpar e é a maior soma possível.
O maior número possível de somas ímpares que podem ser obtidas é 2997.
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(RESOLUÇÃO POSTADA DEPOIS DOS RESULTADOS DA OLÍMPIADA CANGURU)
Bem, a resposta anterior é insuficiente à pergunta formulada. Ela responde a maior soma, não a maior QUANTIDADE de somas, ou seja, qual a melhor maneira de combinar esses números a fim de obter a maior quantidade de somas resultando em ímpares:
Ressalto, que não incentivo a pergunta de solução de questões de Olímpiadas como a Canguru, no Brainly, pois ela vale uma premiação, e há muitos alunos se esforçando para receber as medalhas por mérito.
Vamos à resolução:
Para saber se uma soma é ímpar ou par, devemos analisar as parcelas que a compõem
3 números (x ∈ N* / x ≤ 1000) (com 500 ímpares e 500 pares), podem ser ordenados de certas maneiras. A partir dessas maneiras distintas de ordenar os números saberemos se a soma entre eles é ímpar ou par (Não nos preocuparemos com a ordem com a qual eles aparecem) :
- 3 ímpares - Somados resultam em um ÍMPAR
- 2 ímpares e 1 par - Somados resultam em um PAR
- 2 pares e 1 ímpar - Somados resultam em um ÍMPAR
- 3 pares - Somados resultam em um PAR
Portanto sabemos que as melhores maneiras de compor a soma são entre 2 pares e 1 ímpar, ou 3 ímpares.
Partindo disso, vamos analisar:
P = PAR
I = ÍMPAR
Se fizermos uma ordem em que ordenaremos todos os ímpares e em seguida todos os pares (I + I + I .... I + P + P + P...) ela não será a melhor possível, haja visto que conseguiremos realizar 499 somas de algarismos conscutivos; o penúltimo ímpar será somado a outro Ímpar e a um par, o que resulta em um número par; o último poderá ser somado a outros 2 pares consecutivos, e então teremos um ímpar, (Como cada ímpar pode ser somado a outros 2, exceto o penúltimo, e há 500 ímpares, teremos 499 somas, um número pequeno)
Vamos tentar então iniciar nossa ordem privilegiando a soma entre 2 pares e 1 ímpar, (P + P + I), para utilizar os pares em somas que resultem em ímpares. E de qualquer maneira que eles são ordenados haverá soma ímpar (some três números consecutivos dessa ordem, e SEMPRE resultará soma ímpar: P - P - I - P - P - I - P - P - I - P - P - I . )
Note que, como há 500 números pares entre 1 e 1000 e cada agrupamento de 2 pares e 1 ímpar envolve 2 números pares. Portanto conseguiremos 250 combinações de 2 pares e 1 ímpar (utilizando 500 pares e 250 ímpares = 750 números). Como haverá 250 números ímpares remanescentes, eles podem ser ordenados consecutivamente, pois a soma deles entre si é proveitosa.
Agora vamos entender de que maneiras podemos ordenar 2 ímpares e um par:
- P - P - I
- I - P - P
- P - I - P
A princípio, todas essas ordens são proveitosas, mas vamos olhar para o final delas, em que acabam os números pares e começa a série de apenas ímpares consecutivos:
Usando a ordem P - P - I; no final dela haverá o encontro com os ímpares
(... P + P + I + I + I + I + I ...)
A soma em destacada resultará em um par
Usando a ordem I - P - P; o encontro ocorrerá (... I + P + P + I + I + I ...), também haverá uma soma resultando par
Usando a ordem P - I - P; o encontro ocorrerá (... P + I + P + I + I + I ...) e haverá 2 somas resultando pares (I + P + I e P + I + I), portanto essa é a pior combinação.
Inevitavelmente o último par se somará a 2 ímpares, resultando em outro par, no melhor dos cenários (mesmo se a sequência de ímpares consecutivos viesse antes). Portanto se cada um dos números que formam a ordem de 2 pares e um ímpar, forem somado a seus dois sucessores imediatos na ordem, haverá um ímpar como resultado, exceto ao último par, e se foram usados 750 números para compor esse início da ordem, e a soma de um deles com seus próximos 2 sucessores será par, teremos 749 somas possíveis, até então (750 - 1 = 749)
Agora seguindo aos 250 ímpares que ainda não foram utilizados, eles serão ordenados sucessivamente e somados entre si, resultando em outro ímpar. No entanto o penúltimo e o último números não possuem 2 sucessores imediatos para serem somados (mesmo que já tenham participado de outras somas), portanto haverá 250 somas possíveis menos 2, pois não há mais números a serem somados, ou seja 248 (250 - 2 = 248)
Então somando essas possibilidades de somas distintas: 749 + 248 = 997
O maior número possível de somas ímpares que podem ser obtidas é 997
Bons estudos! Espero ter ajudado ; )
Medalha de Prata na Canguru - Prova S 2021
Damy