Question

Determine a área hachurada delimita por 10 circunferências idênticas de raio 2 cm.

Answer 1

$\large \sf A \ \'area \ hachurada \ mede \left(36\sqrt 3 - 18 \cdot \pi \right) cm^2.$

Determine a área do triângulo equilátero e subtraia as áreas dos círculos.

• Observe a figura anexa e considere:

r: medida do raio de cada circunferência (r = 2 cm)

ℓ: medida do lado do triângulo

• Observe que foi desenhado um triângulo equilátero, pois cada lado do triângulo mede 6⋅r.

ℓ = 6 ⋅ r ①

• A área hachurada corresponde à área do triângulo equilátero menos a área dos círculos internos ao triângulo.

$\large \sf A_h = A _ \Delta - A _ \circ$  ②

• A área do triângulo equilátero é obtida por:

$\large \sf A_\Delta = \dfrac{\ell ^2 \cdot \sqrt 3}{4}$  ⟹ Substitua a equação ① nessa equação.

$\large \sf A_\Delta = \dfrac{(6r) ^2 \cdot \sqrt 3}{4}$

$\large \sf A_\Delta = \dfrac{36 \cdot r^2 \cdot \sqrt 3}{4}$

$\large \sf A_\Delta = 9 \sqrt 3 \cdot r^2$  ③

• A área de cada círculo é obtida por:

Ac = π ⋅ r² ④

Observe que dentro do triângulo há:

• Um círculo inteiro
• 6 metades de círculo e
• 3 setores de 60° (Se 3×60° = 180° isso corresponde à área de meio círculo)
• Portanto a área dentro do triângulo ocupada pelos círculos é:

$\large \sf A _ \circ = \left(1 + 6 \cdot \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{2} \right) \cdot A_c$

$\large \sf A _ \circ = \dfrac {9}{2} \cdot A_c$  ⟹ Substitua a equação ④ nessa equação.

$\large \sf A _ \circ = \dfrac {9}{2} \cdot \pi r^2$  ⑤

• Substitua as equações ③ e ⑤ em ②.

$\large \sf A_h = A _ \Delta - A _ \circ$

$\large \sf A_h = 9 \sqrt 3 \cdot r^2 - \dfrac {9}{2} \cdot \pi r^2$  ⟹ Substitua o valor de r nessa equação.

$\large \sf A_h = 9 \sqrt 3 \cdot 2^2 - \dfrac {9}{2} \cdot \pi \cdot 2^2$

$\large \sf A_h = \left(36\sqrt 3 - 18 \cdot \pi \right) cm^2$

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