Question

Pois para também por a Resposta

2ª questão) Para um determinado valor de a, sabe-se que o logaritmo de 8a + 1 numa base que é o triplo de a é 2. Determine a .

Answer 1

Após resolver a equação logarítmica apresentada pela questão, temos como resultado a = 1.

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De antemão, peço que você relembre a definição de logaritmo e a condição de existência dos logaritmos, deixadas por mim em anexo.  

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De acordo com o enunciado temos a seguinte equação

                                           $\Large\quad\quad\begin{array}{l} \sf log\:\!_{3\,\!a}~(8\:\!a+1)=2\\\\\end{array}$

, veja que há incógnitas na base e no logaritmando. Portanto as condições de existência nos dizem que

• 0 < 3a ≠ 1 ⇔ 0 < a ≠ 1/3
• 8a + 1 > 0 ⇔ a > – 1/8

, ''a'' deve ser positivo e diferente de 1/3. Prosseguindo:

$\\\begin{array}{l}\quad\quad\quad\ \ \sf log\:\!_{3\,\!a}~(8\:\!a+1)=2\\\\\sf\iff~~~\!(3\:\!a)^2=8\:\!a+1\\\\\sf\iff~~~9\:\!a^2=8\:\!a+1\\\\\sf\iff~~~9\:\!a^2-8\:\!a-1=0\\\\\sf\iff~~~9\:\!a^2-9\:\!a+1\:\!a-1=0\\\\\sf\iff~~~9\:\!a\cdot\big(a-1\big)+1\cdot(a-1\big)=0\\\\\sf\iff~~~\big(9\:\!a+1\big)\cdot\big(a-1\big)=0\\\\\iff~~\begin{cases}\sf9\:\!a+1=0~\Leftrightarrow~a_1=-\dfrac{~1~}{9}\\\\\sf a-1=0~\Leftrightarrow~a_2=1\end{cases}\end{array}$

Como sabemos que ''a'' não pode ser negativo, então excluímos a primeira raiz. Assim temos que:

                                                     $\large\quad\quad\quad\quad\quad \boxed{\boxed{\begin{array}{l}\sf a=1\end{array}}}$  

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Answer 2

log[3a] (8a+1)=2

8a+1=(3a)²

9a²-8a-1=0

a'=[8+√(64+36)]/18= (8+10)/18 =1

a''=[8-√(64+36)]/18= (8-10)/18 =-2/18=-1/9

verificando

a=1 ==>log[3] (8+1)   existe log

a=-1/9 ==>log[-1/3] (-8/3+1)  não existe

a=1  é a resposta