Question

Encontre a primitiva das seguintes funções:
a) f(x)=1/x^6 ;
b) f(x)=2xsen(x^2 ).

Answer 1

A primitiva de uma função f é dada por uma função F que, quando derivada, retorna f. Ou seja:

$\dfrac{d}{dx}F(x)=f(x)$

Logo, F(x) é uma antiderivada de f(x), e pode ser determinada pela integral indefinida

$F(x)=\displaystyle\int f(x)dx$

Que nos dá a família de antiderivadas de f (que se diferenciam por uma constante)
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a)

$F(x)=\displaystyle\int\dfrac{1}{x^{6}}dx\\\\\\F(x)=\int x^{-6}dx\\\\\\F(x)=\dfrac{x^{-6+1}}{-6+1}+constante\\\\\\F(x)=\dfrac{x^{-5}}{(-5)}+costante\\\\\\\boxed{\boxed{F(x)=-\dfrac{1}{5x^{5}}+constante}}$

Em particular, $F_{1}(x)=-\dfrac{1}{5x^{5}}$ é uma antiderivada de f, pois

$\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{5x^{5}}\right)=\dfrac{1}{x^{6}}=f(x)$

b)

$F(x)=\displaystyle\int2x\cdot sen(x^{2})dx$

Considere x² = u. Então:

$du=2xdx$

Logo:

$F(x)=\displaystyle\int sen(x^{2})2xdx\\\\\\F(x)=\int sen(u)du\\\\\\F(x)=-cos(u)+constante\\\\\\\boxed{\boxed{F(x)=-cos(x^{2})+constante}}$

Da mesma maneira, $F_{1}(x)=-cos(x^{2})$ é uma antiderivada particular de f, já que

$\dfrac{d}{dx}(-cos(x^{2}))=-(-sen(x^{2}))\cdot2x=2x\cdot sen(x^{2})=f(x)$