Question

Questões na foto em anexo, desde já agradeço.




Completando a pergunta da 2° imagem, tem como alternativas:
a) 4
b) -2
c) 2
d) 1

Answer 1

1ª questão: Deseja-se calcular a área entre os gráficos das funções

$\left\{ \begin{array}{l} f(x)=4-x^{2}\\ g(x)=3 \end{array} \right.$

no intervalo $0\leq x \leq 1.$
 

Como no intervalo considerado, temos que $f(x)\geq g(x),$ a área da região sombreada é

$A=\int\limits_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]\,dx}\\ \\ \\ A=\int\limits_{0}^{1}{[4-x^{2}-3]\,dx}\\ \\ \\ A=\int\limits_{0}^{1}{[1-x^{2}]\,dx}\\ \\ \\ A=\left[x-\frac{x^{3}}{3} \right ]_{0}^{1}\\ \\ A=\left[1-\frac{1^{3}}{3} \right ]-\left[0-\frac{0^{3}}{3} \right ]\\ \\ A=\left[1-\frac{1}{3} \right ]-0\\ \\ A=\frac{3-1}{3}\\ \\ A=\frac{2}{3}$


Resposta: alternativa $\text{II. }\frac{2}{3}.$


2ª questão: $\int\limits_{0}^{1}{2x\,dx}$

$=2\int\limits_{0}^{1}{x\,dx}\\ \\ \\ =\diagup\!\!\!\! 2\cdot \left[\frac{x^{2}}{\diagup\!\!\!\!2} \right ]_{0}^{1}\\ \\ \\ =[x^{2}]_{0}^{1}\\ \\ =1^{2}-0^{2}\\ \\ =1$


Resposta: alternativa $\text{d) }1.$

Answer 2

Propriedades e teoremas utilizados:

Integrais de potências:

$\boxed{\boxed{\displaystyle\int u^{n}du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+constante~~~\forall n\neq-1}}$

Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2)

$\boxed{\boxed{\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),~~onde~F(x)~\'e~tal~que~~\dfrac{d}{dx}F(x)=f(x)}}$

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Questão 1

É mais trabalhoso encontrar a área hachurada integrando em relação a x. Veja que, se olharmos para a função x = f(y), teríamos apenas que saber o ponto de interseção da função com o eixo y e integrar em relação a y para achar essa área

$y=4-x^{2}~~~\therefore~~~x^{2}=4-y~~~\therefore~~~~|x|=\sqrt{4-y}$

Como a área que estamos estudando ocorre onde x é positivo, |x| = x.

Portanto:

$\boxed{\boxed{x=\sqrt{4-y}}}$
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Olhando para y = 4 - x², sabemos que o gráfico de y intercepta o eixo y quando x = 0. Achando y:

$y=4-0^{2}=4-0=4$
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Então, estaríamos interessados na área entre o gráfico da função x = f(y) e o eixo y, limitada pelas retas y = 3 e y = 4

$S=\displaystyle\int_{3}^{4}f(y)dy\\\\\\S=\int_{3}^{4}\sqrt{4-y}dy$

Fazendo u = 4 - y, temos

$du=(0-1)dy~~~\therefore~~~du=-dy~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{dy=-du}}$

y = 3 ---> u = 4 - 3 = 1
y = 4 ---> u = 4 - 4 = 0

Então, fazendo a substituição de variáveis:

$S=\displaystyle\int_{3}^{4}\sqrt{4-y}dy=\int_{1}^{0}\sqrt{u}(-du)=-\int_{1}^{0}\sqrt{u}du$

Como $\displaystyle\int_{b}^{a}f(n)dn=-\int_{a}^{b}f(n)dn$:

$S=\displaystyle-(-1)\int_{0}^{1}\sqrt{u}du\\\\\\S=\int_{0}^{1}u^{1/2}du\\\\\\S=\left[\dfrac{u^{(1/2)+1}}{(1/2)+1}\right]_{0}^{1}\\\\\\S=\left[\dfrac{u^{3/2}}{(3/2)}\right]_{0}^{1}$

$S=\dfrac{1^{3/2}}{(3/2)}-\dfrac{0^{3/2}}{(3/2)}\\\\\\S=\dfrac{1}{(3/2)}\\\\\\\boxed{\boxed{S=\dfrac{2}{3}~~u.a}}$

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Questão 2

$\displaystyle\int_{0}^{1}2xdx=2\int_{0}^{1}xdx\\\\\\\int_{0}^{1}2xdx=2\left[\dfrac{x^{1+1}}{1+1}\right]_{0}^{1}\\\\\\\int_{0}^{1}2xdx=2\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}\\\\\\\int_{0}^{1}2xdx=2\left[\dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}\right]\\\\\\\int_{0}^{1}2xdx=2\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\\\boxed{\boxed{\int_{0}^{1}2xdx=1}}$