Question

a soma dos múltiplos de 5 entre 100 e 2000 vale

Answer 1

formula da progressão aritmética
an = a1+(n-1).r

formula da soma de uma progressão aritmética
Sn = n.(a1+an)/2

Onde:
a1 = primeiro termo = 105
an = ultimo termo = 1995
Sn = soma dos termos

Para descobrir "n"

an = a1+(n-1).r
1995 = 105+(n-1).5
1890 = (n-1).5
n-1 = 1890/5
n -1 = 378
n = 379

Com "n" descoberto, podemos descobrir a soma dos termos;

Sn = n.(a1+an)/2
Sn= 379(105+1995)/2
Sn = 379.(2100/2)
Sn = 379.1050

Answer 2

Os múltiplos de 5 formam uma PA se olharmos mais a fundo:

(5, 10, 15, 20, 25, ...) onde a razão r = 5. 

No nosso caso a PA começa em 100

PA (100, 105, 110, ...)

Queremos saber qual a soma desses múltiplos de 100 à 2000

Para isso, Vamos usar a Fórmula da Soma dos Termos de uma PA

$S_{n} = \frac{(a_{1} +a_{n} )n}{2}$

Onde:

a1 = primeiro termo da PA, no caso 100
an = último termo da PA, no caso 2000
n = quantidade de termos que a PA tem de 100 até 2000.

Precisamos descobrir n, para isso, vamos usar a fórmula do termo geral:

$a_{n} = a_{1} + (n-1)r$

Então vamos calcular o número de termos de 100 à 2000, considerando 2000 o último termo. É o mesmo que estar calculando a posição do número 2000 na PA:

$a_{n} = a_{1} + (n-1)r \\ \\ 2000 = 100 + (n-1)5 \\ \\ 2000 = 100 + 5n-5 \\ \\ 2000 = 95 + 5n \\ \\ 2000-95 = 5n \\ \\ 1905 = 5n \\ \\ n = \frac{1905}{5} \\ \\ n = 381$

Ou seja, entre 100 e 2000 temos 381 múltiplos de 5

Usando a fórmula da soma:

$S = \frac{(100 +2000 )381}{2} = \frac{2100 . 381}{2} = 800100/2=400050$