Question

Ao determinarmos a equação da reta normal à curva y = x3 - 4 no ponto x = 1, obtemos:

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos encontrar a equação da reta normal à curva $y=x^3-4$ no ponto $x=1$.

Seja uma curva $\mathcal{C}$ o gráfico de uma função $f(x)$, contínua e derivável em um ponto $(x_0,~y_0)$. A equação da reta normal à curva neste ponto é calculada pela fórmula: $y-y_0=-\dfrac{1}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0)$.

Primeiro, calculamos o ponto $y_0$, substituindo $x=1$ na equação da curva:

$y_0=1^3-4\\\\\\ y_0=1-4\\\\\\ y_0=-3$

Então, calcule a derivada da função:

$f'(x)=(x^3-4)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: $(g(x)\pm h(x))'=g'(x)\pm h'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(x^3)'-(4)'$

Aplique a regra da potência e da constante

$f'(x)=3\cdot x^{3-1}-0$

Some os valores no expoente e multiplique os termos

$f'(x)=3x^2$

Calcule o valor da derivada da função no ponto $x=1$

$f'(1)=3\cdot1^2\\\\\\ f'(1)=3\cdot1\\\\\\ f'(1)=3$

Por fim, substitua os dados na fórmula da reta normal:

$y-(-3)=-\dfrac{1}{3}\cdot(x-1)\\\\\\ y+3=-\dfrac{1}{3}\cdot(x-1)$

Subtraia $3$ em ambos os lados da igualdade

$y=-\dfrac{1}{3}\cdot(x-1)-3~~\checkmark$

Esta é a equação normal à curva neste ponto.