(OBMEP - 2015 - Nivel 3) Abaixo temas três figuras pentagonais: a primeira com 5 pontos, a segunda com 12 pontos e a terceira com 22 pontos. Continuando esse processo de construção, a vigésima figura pentagonal terá 651 pontos. Quantos pontos terá a vigésima primeira figura?
5
12
Pante COMER as (Nivel 3
22
Tente Resolver fazendo os registros no caderno Justifique como voce chegou a solução
Observando a segunda e terceira figura, nota-se que a segunda figura foi obtida acrescentando-se 4 novas pontos (vertices do poligono) en pontos em cada um dos 3 vertices opostos ao ponto fra sendan a posição da pen tagonal na sequéncia Assim os pontos da poligonal não dados por PP +3n-14
Respostas
A vigésima primeira figura terá 715 pontos.
A sequência de pontos é igual a (5, 12, 22, ...).
Entretanto, observe que:
12 - 5 = 7
22 - 12 = 10
Continuando, teremos como resultado das diferenças: 13, 16, 19, etc.
Ou seja, temos aqui um caso de Progressão Aritmética de 2ª ordem.
A fórmula para a progressão aritmética de segunda ordem é:
an = a1(primeira ordem) + S(n-1)(segunda ordem).
No caso, temos que:
a₂₁ = a₁(primeira ordem) + S₂₀(segunda ordem).
A sequência (7, 10, 13, 16, 19, ...) é uma progressão aritmética de razão 3.
Para sabermos a quantidade de pontos que terá a vigésima primeira figura, então vamos calcular o vigésimo termo da sequência (7, 10, 13, 16, ...):
a₂₀ = 7 + (20 - 1).3
a₂₀ = 7 + 19.3
a₂₀ = 7 + 57
a₂₀ = 64.
Agora, vamos somar os 20 termos da sequência (7, 10, 13, 16, ...):
S_{20}=\frac{(7+64).20}{2}S20=2(7+64).20
S₂₀ = 71.10
S₂₀ = 710.
Na sequência (5, 12, 22, ...) temos que o primeiro termo é 5.
Portanto, o vigésimo primeiro termo será:
a₂₁ = 5 + 710
a₂₁ = 715.
Para mais informações sobre progressão aritmética, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18323068
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