Um produtor rural teve problema em sua lavoura devido à ação de uma praga. Para tentar resolver esse problema, consultou um engenheiro agrônomo e foi orientado a pulverizar, uma vez ao dia, um novo tipo de pesticida, de acordo com as seguintes recomendações:
• No primeiro dia, utilizar 3 litros desse pesticida.
• A partir do segundo dia, acrescentar 2 litros à dosagem anterior e, assim, sucessivamente.
Sabendo-se que, nesse processo, foram utilizados 483 litros de pesticida, conclui-se que esse produto foi aplicado durante:
a) 18 dias
b) 19 dias
c) 20 dias
d) 21 dias
e) 22 dias
Respostas
Resposta:
Letra D ( 21 dias)
Explicação passo-a-passo
1º dia: 3 litros
2º dia : 5 litros
3º dia: 7 litros
an = a1 + (n-1).r
an = 3 + (n-1).2
an= 3 + 2n -2
an = 2n+1
Sn= (a1+an).n / 2
483 = (3+an).n / 2
483 . 2 = 3n+an.n
3n+an.n = 966
3 n + (2n+1) . n = 966
3n + 2n² + n = 966
2n²+4n-966=0 : 2
n²+2n-483 = 0
∆ = b²-4ac
∆ = 2²-4.1.(-483)
∆ = 4 + 1.932
∆ = 1.936
n' = -2 + √ 1.936 : 2.1
n' = -2 + 44 : 2
n' = 42 : 2
n' = 21
n'' (impossível, pois o resultado seria um número negativo).
O produto foi aplicado por 21 dias (letra D).
Para resolver este exercício será necessário utilizar os conhecimentos sobre progressão aritmética.
Sabe-se que o enésimo termo de uma PA é dado por:
an = a1 + (n-1)*r
No caso em questão, portanto:
an = 3 + (n-1)*2 = 2n + 1
Além disso, tem-se que a fórmula da soma da PA é:
Sn = (a1 + an)*n / 2
Pelo enunciado sabe-se que soma vale 483 litros, logo:
(3 + 2n + 1)*n / 2 = 483
(2n + 4)*n = 483 * 2 = 966
2n² + 4n = 966
Para achar a quantidade de dias, basta portanto resolver a equação de segundo grau acima. Logo:
Δ = b² -4ac = 7744
n1 = -b + raiz(Δ) / 2*a
n1 = -4 + 88 / 2*2
n1 = 84/4
n1 = 21
n2 daria um valor negativo, logo podemos desconsiderar já que não existe uma quantidade negativa de dias.
Dessa forma conclui-se que o produto foi aplicado por um total de 21 dias.
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