Question

Resolvendo a inequação (4x²+1).x³.(5-3x)>0 , obtemos:

Answer 1

Resolver a inequação:

$(4x^{2}+1)\cdot x^{3}\cdot (5-3x)>0$


Analisando a desigualdade acima, devemos ter as restrições

$x\neq 0\;\text{ e }\;x \neq \frac{5}{3}$

pois queremos que o lado esquerdo seja um número positivo.


O lance é tentar reescrever o lado esquerdo da inequação de forma a agrupar fatores que nunca serão negativos (isso facilita o trabalho da análise de sinais):

$(4x^{2}+1)\cdot x^{3}\cdot (5-3x)>0\\ \\ (4x^{2}+1)\cdot x^{2}\cdot x\cdot (5-3x)>0\\ \\ \left[(4x^{2}+1)x^{2} \right ]\cdot x\cdot (5-3x)>0$


Note que, para essa inequação, o fator em colchetes sempre será positivo, pois

$4x^{2}+1>0\;\;\text{ e }\;\;x^{2}>0$

para todo $x \in \mathbb{R}-\left\{0;\,\frac{5}{3}\right\}.$


Então, como os fatores em colchetes são positivos, basta analisar o sinal dos fatores restantes:

$x \cdot (5-3x)>0$


O produto de dois fatores é positivo se, e somente se, eles tiverem o mesmo sinal. Temos dois casos a analisar:

$\bullet\;\;$ Caso 1. $x>0\;\text{ e }\;5-3x>0:$

$x>0\;\text{ e }\;3x<5\\ \\ x>0\;\text{ e }\;x<\frac{5}{3}\\ \\ 0<x<\frac{5}{3}$


$\bullet\;\;$ Caso 2. $x<0\;\text{ e }\;5-3x<0:$

$x<0\;\text{ e }\;3x>5\\ \\ x<0\;\text{ e }\;x>\frac{5}{3}\;\;\rightarrow(\text{absurdo})$

O caso 2 é impossível de ocorrer.


Logo, o conjunto solução é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,0<x<\frac{5}{3}\right. \right \}$


ou utilizando a notação de intervalos,

$S=\left(0;\,\frac{5}{3} \right )$