Question

Ortonormalize a base $v_{1} = ( 1, 1, 1 ), v_{2} = ( 1, -1, 1 ), v_{3} = ( -1, 0, 1 ) doR^{3$ em relação ao produto interno usual

Answer 1

Elijamos cualquier vector como el primero de la base

1) $u_1=v_1$
2) hallemos el siguiente vector normal a $u_1$
          
        $u_2=v_2 -\dfrac{v_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\cdot u_1\\ \\ u_2=(1,-1,1)-\dfrac{(1,-1,1)\cdot (1,1,1)}{(1,1,1)\cdot (1,1,1)}\cdot (1,1,1)\\ \\ u_2=(1,-1,1)- \dfrac{1}{3}(1,1,1)\\ \\ \boxed{u_2=\dfrac{1}{3}(2,-4,2)}$


3) El tercer vector ortogonal a $u_1$  y  $u_2$

        $u_3=v_3-\dfrac{v_3\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\cdot u_1-\dfrac{v_3\cdot u_2}{u_2\cdot u_2}\cdot u_2\\ \\ u_3=(-1,0,1)-\dfrac{(-1,0,1)\cdot (1,1,1)}{(1,1,1)\cdot (1,1,1)}\cdot (1,1,1)-\cdots\\ \\ \cdots -\dfrac{(-1,0,1)\cdot \frac{1}{3}(2,-4,2)}{\frac{1}{3}(2,-4,2)\cdot \frac{1}{3}(2,-4,2)}\cdot \frac{1}{3}(2,-4,2)\\ \\ \\ \boxed{u_3=(-1,0,1)}$

Entonces una base ortogonal es: $\left\{(1,1,1)\;;\;\frac{1}{3}(2,-4,2)\;;\;(-1,0,1)\right\}$

Por lo tanto, una base ortonormal es:

         $\left\{\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\;;\;\dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1)\;;\;\dfrac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)\right\}$