Question

5. Considere um poligono regular cujas mediatrizes de lados consecutivos determinam um ângulo de 30º. Qual é o número
de diagonais desse poligono?
a)44
b) 54
c) 65
e) 104
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Answer 1

Resposta: 54

Explicação passo-a-passo:

90+90+30=210

360-210=150

ai= 180(n-2)/n

150=180n-360/n

150n= 180n-360

-30n=-360

n=12

D= 12(12-3)/2

D= 12.9/2= 54 (Alternativa B)

Answer 2

Este polígono possui 54 diagonais. Alternativa B.

Mediatriz de um lado

A mediatriz de um lado é o segmento de reta que está no ponto médio deste lado e forma um ângulo reto com ele.

Soma dos ângulos internos de um polígono

Em um polígono de n lados, a soma de seus ângulos internos é dado pela fórmula $S = (n-2) \cdot 180$.

Em um polígono regular de n lados, o valor de cada ângulo interno é a divisão entre a soma (S) e o número de lados (n).

Quantidade de diagonais de um polígono

Em um polígono de n lados, a quantidade de diagonais (d) é dada pela fórmula:

$d = \frac{n \cdot (n-3)}{2}$

Calculando a quantidade de diagonais

Neste polígono, as mediatrizes de dois lados consecutivos forma um ângulo de 30°.

Neste, caso, temos um quadrilátero (observe este recorte na imagem abaixo) com os ângulos 90°, 90°, 30º e α, onde α  é um dos ângulos internos do polígono.

Como a soma dos ângulos de um quadrilátero e´360º, então α + 90° + 90° + 30° = 360 ⇒ α = 150°.

Agora, como este polígono é regular, sendo n a quantidade de lados (e portanto, ângulos) a soma de seus ângulos internos será $150 \cdot n$. Aplicando este valor na fórmula:

$150 \cdot n = (n-2) \cdot 180\\\\150n = 180n - 360\\\\360 = 180n - 150n \\\\360 = 30n\\\\360/30 = n\\\\12 = n$

Agora que encontramos a quantidade de lados deste polígono, podemos encontrar sua quantidade de diagonais:

$d = \frac{12 \cdot (12-3)}{2} \\\\d = \frac{12 \cdot 9}{2} \\\\d = \frac{108}{2} \\\\d = 54$

Portanto, este polígono possui 54 diagonais. Alternativa B.

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