Question

Uma aplicação bastante interessante para integrais de linha em problemas envolvendo Física e Fenômenos de Transporte é o cálculo do trabalho de uma força (grandeza vetorial) no espaço tridimensional.
Dada a força apresentada abaixo:

Elaborado pelo Professor, 2019

Estão corretas:

Answer 1

Resposta:

Alternativa 5 - I, II, III e IV

Explicação passo-a-passo:

I - W = $\int\ F(r) . (r') \, dr$

    $\int\limits^1_0 {(6t^2)(4t) + (6t)(3) - (t^2)(2t)} \, dt$

   $\int\limits^1_0 {24t^3 + 18t - 2t^3} \, dt$

  $\int\limits^1_0 {22t^3 + 18t} \, dt$

=$22[\frac{ t^4}{4}]|^{1} _{0} + 18[\frac{t^2}{2} ]|^{1} _{0}$

=$22[\frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4}] + 18[\frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}] = 22(\frac{1}{4}) + 18(\frac{1}{2})$

$= \frac{11}{2} + \frac{18}{2} = \frac{29}{2}$

II -  $\int\limits^2_1 {(6t^2)(4t) + (6t)(3) - (t^2)(2t)} \, dt$

   $\int\limits^2_1 {24t^3 + 18t - 2t^3} \, dt$

  $\int\limits^2_1 {22t^3 + 18t} \, dt$

=$22[\frac{ t^4}{4}]|^{2} _{1} + 18[\frac{t^2}{2} ]|^{2} _{1}$

$= 22[\frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4}] + 18[\frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2}] = 22(\frac{16}{4} - \frac{1}{4} ) + 18(\frac{4}{2} - \frac{1}{2} )$

$= 22(\frac{15}{4} ) + 18(\frac{3}{2}) = \frac{330}{4} + \frac{54}{2} = \frac{165}{2} + \frac{54}{2}$

$= \frac{219}{2}$

III- $\int\limits^1_0 {(3t)(1) + (8t)(4) - (t^2)(2t)} \, dt$

$\int\limits^1_0 {3t + 32t - 2t^3} \, dt$

$\int\limits^1_0 {35t -2t^3} \, dt$

$35[\frac{ t^2}{2}]|^{1} _{0} + 18[\frac{t^4}{4} ]|^{1} _{0}$

$=35(\frac{1}{2}) - 2(\frac{1}{4}) = \frac{35}{2} - \frac{1}{2} = \frac{34}{2} = 17$

IV - $\int\limits^3_1 {(3t)(1) + (8t)(4) - (t^2)(2t)} \, dt$

     $\int\limits^3_1 {3t + 32t - 2t^3} \, dt$

     $\int\limits^3_1 {35t -2t^3} \, dt$

    $35[\frac{ t^2}{2}]|^{3} _{1} + 18[\frac{t^4}{4} ]|^{3} _{1}$

$= 35[ \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} ] - 2[\frac{3^4}{4} - \frac{1}{4}] = 35(\frac{8}{2}) - 2(\frac{80}{4})$

$= \frac{280}{2} - \frac{80}{2} = \frac{200}{2} = 100$

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