Question

O método de Newton é um método numérico conhecido por ter uma ótima velocidade de convergência.
Utilizando o método de Newton com 3 iterações, calcule a aproximação para a raiz da função y = 6*x^3 + 20*x^2 - x + 1, utilizando como aproximante inicial x_0 = - 5.

Alternativas
Alternativa 1:
-5,0000000.

Alternativa 2:
-4,0200800.

Alternativa 3:
-3,5555846.

Alternativa 4:
-3,4078723.

Alternativa 5:
-1,0000000.

Answer 1

Resposta:

alternativa n; 04

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

A alternativa correta é a letra c) 3,5555846.

Vamos aos dados/resoluções:

É importante salientar que estamos falando sobre o Método número de Newton, também conhecido como Método de Newton-Raphon que nos leva a transformação F(x) = 0 em uma única equação conveniente onde a única dependência para que seja convergente será a escolha do X0.  

Dessa forma, no método numérico de Newton, irá atualizar o seu valor de x a cada iteração, logo:  

Xn + 1 = Xn - F(Xn) / F' (xn), n ∈ N

Dessa forma, a fórmula será necessário inicialmente para derivar a função e depois da mesma, iremos aplicar a regra de derivação da potência:

F (x) = 5x³ + x² - 12x + 4 ;  

F' (x) = 15x² + 2x - 12;  

PS: Onde a regra da derivada da potência é:  

F (x) = ax^n ;  

f'(x) = Na . x^n-1 ;

Partindo do início, temos x = 0 e precisamos aplicar o método três vezes (no caso, iterações). Dessa forma, a primeira ficará:

F(x0) = F(0) = 5 . 0³ + 0² - 12 . 0 + 4 = 4 ;  

F'(x0) = F'(0) = 15 . 0² + 2 . 0 - 12 = -12 ;  

X1 = X0 - F(x0) / f' (x0) ;  

X1 = 0 + 4/12 ;  

X1 = 1/3 = 0.333...

Para a segunda iteração:  

F(x') = F(1/3) = 5. (1/3)³ + (1/3)² - 12 . (1/3) + 4 = 8/27 ;  

F'(x1) = f' (1/3) = 15 . (1/3)² + 2 . (1/3) = 12 = -29/3 ;  

X2 + x1 - F (x') / f' (x1) ;  

x2 = 1/3 + 8/261 ;  

X2 = 95 / 265 = 0,3640 ;  

Para a terceira iteração:

F(x2) = F (95/261) = 5 . (95/261)³ + (95/261)² - 12 . (95/261) + 4 = 0,0058 ;  

f'(x2) = f' (95/261) = 15 . (95/261)² + 2 . (95/261) - 12 = -9,2848.

x3 = x2 - f(x2) / f'(x2) ;  

x3 = 95/261 + 0,0058 / 9,2848.

x3 = 0,3646.

Para saber mais sobre o assunto:

https://brainly.com.br/tarefa/22692376

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)