Question

Gente.... tava estudando esses dias e inventei essa questão
Sabendo que x + y = 10 e x . y = 5 quanto é x² + y² ?
parece fácil, mas eu simplesmente não to conseguindo fazer

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\boxed{x^{2}+y^{2}=90}}$

Explicação passo-a-passo:

{ x + y = 10

{ x . y = 5

Método da Substituição

Isolarei o x na 1° equação:

x + y = 10

x = 10 - y

Agora substituirei na 2° equação:

x . y = 5

(10 - y) . y = 5

10y - y² = 5

- y² + 10y - 5 = 0 .(-1)

y² - 10y + 5 = 0

Resolvendo:

$\Delta= b^{2}-4.(a).(c)$

$\Delta=(-10)^{2}-4.(1).(5)\\\Delta=100-20\\\Delta=80$

$y=\dfrac{-b+-\sqrt{\Delta} }{2a}$

$y=\dfrac{-(-10)+-\sqrt{80} }{2.1} =\dfrac{10+-4\sqrt{5} }{2} \\\\\\y'=\boxed{\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2}}\\y''=\boxed{\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2}}$

Agora calcularemos os valores de x.

x' para    $y'=\boxed{\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2}}$  :

x = 10 - y

$x'=10-(\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2})=10+\dfrac{-10-4\sqrt{5} }{2} =\dfrac{20-10-4\sqrt{5} }{2} =\boxed{\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2}}$

$\boxed{\boxed{S'=\{\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2};\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2} \}}}$

x'' para $y''=\boxed{\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2}}$  :

x = 10 - y

$x''=10-(\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2})=10+\dfrac{-10+4\sqrt{5} }{2} =\dfrac{20-10+4\sqrt{5} }{2} =\boxed{\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2}}$

$\boxed{\boxed{S''=\{\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2};\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2}\}}}$

Agora vamos calcular x² + y², com os dois conjuntos de soluções.

x² + y², para $\boxed{\boxed{S'=\{\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2};\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2} \}}}$  :

$(\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2})^{2}+(\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2})^{2}=(\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2}.\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2})+(\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2}.\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2})=$

$(\dfrac{100-40\sqrt{5}-40\sqrt{5}+16\sqrt{25} }{4})+(\dfrac{100+40\sqrt{5}+40\sqrt{5}+16\sqrt{25} }{4} )=$

$(100-40\sqrt{5}-40\sqrt{5}+16\sqrt{25} +100+40\sqrt{5}+40\sqrt{5}+16\sqrt{25} })/4=$

$\dfrac{200+32\sqrt{25} }{4} =50+8\sqrt{25} =50+8.5=50+40=\boxed{90}$

x² + y², para $\boxed{\boxed{S''=\{\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2};\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2}\}}}$  :

$(\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2})^{2}+(\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2})^{2}=(\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2}.\dfrac{10+4\sqrt{5} }{2})+(\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2}.\dfrac{10-4\sqrt{5} }{2})=$

$(\dfrac{100+40\sqrt{5}+40\sqrt{5}+16\sqrt{25} }{4})+(\dfrac{100-40\sqrt{5}-40\sqrt{5}+16\sqrt{25} }{4} )=$

$(100+40\sqrt{5}+40\sqrt{5}+16\sqrt{25} +100-40\sqrt{5}-40\sqrt{5}+16\sqrt{25} })/4=$

$\dfrac{200+32\sqrt{25} }{4} =50+8\sqrt{25} =50+8.5=50+40=\boxed{90}$

E.......... acabou k k k é só isso aí ¯\_(ツ)_/¯

Espero que entenda alguma coisa rs