Question

Ajuda pfv
$( \sqrt{y } - {z}^{3} ) {}^{12m}$
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Answer 1

Resposta:

$y^{6}$  $-12y^{5}\sqrt{y}* z^{3}$  $+66*y^{5} *z^{6}$ $- 220*y^{4} \sqrt{y} } *z^{9}$ $+495*y^{4} *z^{12}$ -$-792*y^{3}*\sqrt{y} *z^{15}$$+ 924* y^{3} *z^{18}$ $- 792*y^{2} *\sqrt{y}* z^{21}$$+ 495 *y^{2}*z^{24}$ -

$- 220*y*\sqrt{y} *z^{27}$ $+ 66 * y * z^{30}$ $-12\sqrt{y}*z^{33}$$+z^{36}$

Explicação passo-a-passo:

Desenvolver, de acordo com o Binómio de Newton a expressão:

$( \sqrt{y } -z^{3} )^{12m}$  para m = 1.

Resolução:

Chama-se binómio porque usa na base a adição de dois monómios.

Aqui o 1º monómio é  $(\sqrt{y})$  e o 2º monómio ( - z³).

Como está elevado a 12, vai ter no final 13 parcelas.

1ª parcela  12C0 * 1º monómio elevado a 12 * 2º monómio elevado a zero

      $12C0*(\sqrt{y}) ^{12} *(-z^{3} )^0 = 1 * \sqrt{y^{12} } *1= \sqrt[2]{y^{12} } =y^{6}$

2ª parcela 12C1 * 1º monómio elevado a 11 * 2º monómio elevado a 1

           $12*(\sqrt{y} )^{11} *(-z^{3})^1 =- 12*\sqrt{y^{10} } *\sqrt{y} *z^{3} =-12y^{5}\sqrt{y}* z^{3}$

3ª parcela 12C2 * 1º monómio elevado a 10 * 2º monómio elevado a 2

                $66*(\sqrt{y} )^{10} *(-z^{3} )^2=66*y^{5} *z^{6}$

4ª parcela 12C3 * 1º monómio elevado a 9 * 2º monómio elevado a 3

      $220* (\sqrt{y}) ^{9} *(-z^{3} )^3=220*\sqrt{y^{9} } *(-z^{9})=- 220*y^{4} \sqrt{y} } *z^{9}$          

5ª parcela 12C4 * 1º monómio elevado a 8 * 2º monómio elevado a 4

   $495*(\sqrt{y}) ^{8} *( -z^{3})^4=495*y^{4} *z^{12}$

6ª parcela 12C5 * 1º monómio elevado a 7 * 2º monómio elevado a 5

   $792*(\sqrt{y} )^{7} *(-z^{3})^5=-792\sqrt{y^{7} } *z^{3*5} =-792*y^{3}*\sqrt{y} *z^{15}$

7ª parcela 12C6 * 1º monómio elevado a 6 * 2º monómio elevado a 6

   $924 * (\sqrt{y}) ^{6} *(-z^{3} )^6=924* y^{3} *z^{18}$

8ª parcela 12C7 * 1º monómio elevado a 5 * 2º monómio elevado a 7

   $792*(\sqrt{y}) ^{5} *(-z^{3} )^7 = - 792*y^{2} *\sqrt{y}* z^{21}$

9ª parcela 12C8 * 1º monómio elevado a 4 * 2º monómio elevado a 8

   $495*(\sqrt{y} )^{4} *(-z^{3} )^8=495 *y^{2}*z^{24}$

10ª parcela 12C9 * 1º monómio elevado a 3 * 2º monómio elevado a 9

   $220*(\sqrt{y}) ^{3} *(-z^{3} )^9 = - 220*y*\sqrt{y} *z^{27}$

11ª  parcela 12C10 * 1º monómio elevado a 2 * 2º monómio elevado a 10

   $66*(\sqrt{y}) ^{2} * ( - z^{3} )^{10} = 66 * y * z^{30}$

12ª parcela 12C11 * 1º monómio elevado a 1 * 2º monómio elevado a 11

   $12 * (\sqrt{y}) ^{1} *( -z^{3}) ^{11} =-12\sqrt{y}*z^{33}$

13ª parcela 12C12 * 1º monómio elevado a 0 * 2º monómio elevado a 12

    $1*(\sqrt{y}) ^{0} *(-z^{3} )^{12} = 1*1*z^{36} =z^{36}$

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Cálculos das Combinações que antecedem cada parcela

12C2 =( 12! ) / ( 2! *(12-2!) ) = ( 12! ) /(2! *10! )=(12*11*10!) / ( 2*10!)

O 10! do numerador cancela-se com o 10! do denominador.

(12*11)/2 = 66

12C3 = (12!)/(3!*(12-3!) ) = ( 12*11*10*9! ) / ( 3! * 9!)

9! no numerador e denominador cancelam-se.

3! = 3 * 2 = 6

(12 * 11 *10) /6 = 220  

12C4 = ( 12! )/(4!(12-4!) = ( 12! )/(4! 8! )= ( 12 * 11 *10 * 9 * 8!) /(4! * 8!)

o 8! do numerador cancela-se com o 8! do denominador

(12* 11 * 10 * 9 ) / ( 4 * 3 * 2 ) =11 880 / 24 = 495

12C5 = (12!) / ( 5! * ( 12 - 5! ) ) = ( 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7! ) / ( 5! * 7! )

o 7! do numerador cancela-se com o 7! do denominador

( 12 * 11 * 10 * 9 * 8  ) /  5!             5 ! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

95 040 / 120 = 792

12C6 = ( 12! ) / ( 6! * (12-6!) = (12!) / (6!*6!) = (12*11*10*9*8*7*6! ) / (6! * 6! )

um  6! do numerador cancela-se com um 6! do denominador

(12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 ) / ( 6 * 5 * 4 * 3 * 2* 1 )

665 280 / 720 = 924

12C7 = (12!) / ( 7! ( 12 - 7! ) = (12!) / ( 7! 5! )

o 7!  do numerador cancela-se com o 7! do denominador

(12 * 11 * 10 * 9 * 8 ) / 5! = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 ) / (5 * 4 * 3 * 2 )

=   95 040 / 120 = 792

12C8 = ( 12 ! ) / ( 8! *( 12 - 8 !) ) = ( 12 * 10 * 9 * 8! ) / ( 8! * 4! )

o 8!  do numerador cancela-se com o 8! do denominador

= ( 12 * 11 * 10 * 9 ) / ( 4 * 3 * 2 * 1 )

= 11 880 / 24 = 495

12C9 = ( 12 ! ) / ( 9! ( 12 - 9 ! ) ) = (12 * 11 * 10 * 9! ) / ( 9! * 3! )

o 9!  do numerador cancela-se com o 9! do denominador

= (12 * 11 * 10 ) / ( 3 * 2 )

= 1 320 / 6  = 220

 

12C10 = ( 12 ! ) / ( 10! ( 12 - 10 !) ) = ( 12 * 11 * 10! ) / (10! * 2! )

o 10 !  do numerador cancela-se com o 10 ! do denominador

= 132 / 2 = 66

12C11 = ( 12 ! ) / ( 11 ! * ( 12 - 11 ! ) )

o 11 !  do numerador cancela-se com o 11 ! do denominador

=  12 / 1  = 12

12C12 = ( 12 ! ) / ( 0 ! * ( 12 - 0! ) ) = 12 / 12 = 1

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1ª parcela → $12C0*(\sqrt{y}) ^{12} *(-z^{3} )^0 = 1 * \sqrt{y^{12} } *1= \sqrt[2]{y^{12} } =y^{6}$

Observações → 1  $(-z^{3} )^0 =1$  porque qualquer valor, diferente de zero, elevado a zero dá 1.

Legenda:

Observação 2  → 12C0  é combinação de 12 zero a zero. Que dá e 1

$12C0 = \frac{12!}{0!* (12-0!)} =\frac{12!}{12!} =1$

Observação 3 → 0! = 1  

e 12! = 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

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Bom estudo.