Question

encontrem os valores de a, b e c sabendo que 2, 4 e -3 são raízes da equação x^3+ax^2+bx+c=0

Answer 1

Montar um Sistema de Equação:
   x³+a.x²+b.x+c = 0 

Raízes, são o x, portanto temos:
   x³+a.x²+b.x+c = 0
   2³+a.2²+b.2+ c = 0
   8 + 4.a +2.b + c = 0
     4.a+2.b+c = -8         1) Equação

   x³+a.x²+b.x+c = 0
   4³+a.4²+b.4+c = 0
  64+16.a+4.b+c = 0
    16.a+4.b+ c = -64        2) Equação
 
   x³+a.x²+b.x+c = 0
   (-3)³+a.(-3)²+b.(-3)+c=0
    -27+9.a-3.b+c = 0
    9.a-3.b+c = 27            3) Equação
 
Sistema de Equação:
{4.a+2.b+c = -8       1) Eq.
{16.a+4.b+ c = -64   2) Eq.
{ 9.a-3.b+c = 27       3) Eq.


1)Passo: Sistema  com Equação 1) e 2), temos:
      {4.a+2.b+c = -8   (-4)
      {16.a+4.b+ c = -64  
    
      {-16.a-8.b-4.c=32
      {16.a+4.b+c = -64
       0.a -4.b-3.c = -32     4) Equação

2) Passo: Sistema de Equação com 1) e 3)
 {4.a+2.b+c = -8
 { 9.a-3.b+c = 27  

 {4.a+2.b+c =-8. (3)
 {9.a-3.b+c =27  (2)

{12.a+6.b+3.c =-24
 {18.a-6.b+2c= 54
   30a+5.c =30      5) Equação

3) Passo: Sistema de equação 4) e 5) 
    {-4.b-3.c = -32
    {30.a+5.c = 30
   
     {-4.b-3.c = -32 .(5)
    {30.a+5.c = 30 .(3)
  
     {-20.b-15.c = -160
    {90.a+15.c= 90
      70.a = -70
          a = -1
    
Achar c: Substituir na equação 5)  
         30a+5.c =30 
         30.(-1) + 5.c = 30
            -30 + 5.c = 30
                  5.c = 30 + 30  
                     c = 60/5  => 12

Achar b: Substituir na equação 4)
              -4.b-3.c = -32
              -4.b-3.12 = -32
              -4.b- 36 = -32
               -4.b = -32+36
                -4.b = 4 
                    b = -1

     Montando a equação, temos:
       x³+a.x²+b.x+c = 0
       x³-.x²-x+12 = 0

R: Resultado de a= -1 , b= -1, c = 12