Question

Determinar o centro e o raio R da circunferência da equação: A) x²+y²+12x-12y+73=0 ea B )x²+y²+2x+6y=0

Answer 1

As equações das circunferências possuem a seguinte forma:

x² + y² -2ax -2by + a² + b² -r² =0 (I) 

Centro C=(a,b) e Raio = r

Só que como você mesmo percebe que dificilmente algum examinador vai lhe fornecer uma equação nessa forma toda destacada dizendo quem é quem. Geralmente, serão fornecidas como as do exercício que você propõe. 

Então elas são da forma:

x² + y ² + αx + βy + ω = 0 (II) onde:

a = -2α;
b = -2β ;
ω = a² + b² - r² 

Uma equação do tipo (II) representa uma circunferência se, e somente se, 
a² + b² - ω² > 0

Tudo bem. até aqui?

Bom vamos aos exercícios:

A) x²+y²+12x-12y+73=0

α = -2a = 12 ⇔ a = 12 / (-2) = -6

β = -2b = -12 ⇔ b = -12/-2 = 6

ω = 73

⇒ O item A representa uma circunferência? Apliquemos o teste: 

a² + b² - ω² > 0 ⇔ (-6)² + (6)² - 73 = 72 - 73 < 0

 A equação x² + y² + 12x - 12y + 73 = 0 NÃO REPRESENTA UMA CIRCUNFERÊNCIA,  pois a² + b² - ω² < 0 quando deveria ser > 0

B) x² + y² + 2x + 6y = 0

α = -2a = 2 ⇔ a = 2 / (-2) = -1

β = -2b = 6 ⇔ b = 6/-2 = -3

ω = 0

⇒ O item B representa uma circunferência? Apliquemos o teste: 

a² + b² - ω² > 0 ⇔ (-1)² + (-3)² - 0 = 1 + 9 = 10 > 0

 A equação x² + y² + 2x + 6y = 0 REPRESENTA UMA CIRCUNFERÊNCIA,  pois a² + b² - ω² > 0 isto é,  a² + b² - ω² = 10 > 0 

Então vamos determinar seu raio:

ω = a² + b² - r² 

0 = (-1)² + (-3)² - r² ⇔ 0 = 10 - r² ⇔ -r² = -10 ⇔ r² = 10 ⇔ r = √10

A circunferência x²+y²+2x+6y=0 tem raio r = √10 e C=(-1,-3)

Segue em anexo o gráfico dela (item B)

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02/12/2015
Sepauto - SSRC
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