Question

a altura relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 14,4 dm e a projeção de um dos catetos sobre ela, 10,8 dm . calcular os lados desse triângulo.

Answer 1

Vamos lá.

Veja que está fácil.
Pede-se a medida dos lados de um triângulo retângulo, cuja altura relativa à hipotenusa mede 14,4 dm e a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede 10,8 dm.
Antes de iniciar, veja que se considerarmos um triângulo retângulo de hipotenusa igual a "a", de catetos iguais a "b" e "c", de altura igual a "h" e de projeções dos catetos sobre a hipotenusa iguais a "m" e "n", deveremos ter, basicamente, as seguintes relações métricas:

a² = b² + c²
h² = mn
b² = am
c² = an
bc = ah
a = m + n.

Bem, então vamos utilizar algumas das relações acima para encontrarmos as medidas dos três lados desse triângulo retângulo.
Note que já temos que a altura (h) é igual a 14,4 dm e uma das projeções (que vamos escolher que seja a projeção "m") é igual a 10,8 dm.
Assim, já teríamos que:

h = 14,4 dm
e
m = 10,8 dm .

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.


i) Note que uma das relações é esta:

h² = mn ----- substituindo "h" por "14,4" e "m" por "10,8", teremos;
(14,4)² = (10,8)*n --- desenvolvendo, teremos:
207,36 = 10,8n ----- vamos apenas inverter, ficando:
10,8n = 207,36
n = 207,36/10,8 ---- veja que esta divisão dá exatamente "19,2". Logo:
n = 19,2 dm <---- Esta é a medida da projeção "n".


ii) Vamos, agora, utilizar a a relação:

a = m + n  ------ substituindo "m" e "n" por seus valores, teremos:
a = 10,8 + 19,2
a = 30 dm <----- Esta é a medida da hipotenusa "a".


iii) Vamos a uma outra relação:

b² = am ----- substituindo "a" e "m" por seus valores, teremos:
b² = 30*10,8
b² = 324
b = +- √(324) ----- como √(324) = 18, teremos:
b = +- 18 ----- mas como a medida de um cateto não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

b = 18 dm <---- Esta é a medida do cateto "b".


iv) Finalmente, vamos utilizar outra relação:

c² = an ---- substituindo "a" e "n" por seus valores, teremos:
c² = 30*19,2
c² = 576
c = +-√(576) ------ como √(576) = 24, teremos:
c = +- 24 ------ ´como a medida não é negativa, então:
c = 24 dm <---- Esta é a medida do cateto "c".


v) Assim, resumindo, temos que os três lados desse triângulo são:

a = 30 dm (hipotenusa)
b = 18 dm (cateto "b")
c = 24 dm (cateto "c") .


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.