(ENEM 2020 adaptada) O artista gráfico holandês Maurits Cornelius
Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com
diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das
imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na
qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos
quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na
figura.
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele
tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado
corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente. Escreva essa
requência em forma de potência até o quinto termo.
Respostas
Resposta: letra B
Explicação passo-a-passo: Perceba que os lados dos quadrados estão formando uma progressão geométrica de razão (q=1/2). Isso porque a razão lado (n+1)/lado (n) vale sempre 1/2.
Sabemos que o termo a1 dessa PG vale 1 e que a razão q vale 1/2. Para encontrarmos o elemento a100, basta aplicar a fórmula do n-ésimo termo de uma PG: an = a1 . q (n-1).
a100 = 1 . (1/2)(100-1)
a100 = (1/2)99
Alternativa correta é a letra b)
Sabendo que é uma questão adaptada, então a sequência, em forma de potência, até o quinto termo é:
a1 = (1/2)^0; a2 = (1/2)^1; a3 = (1/2)^2; a4 = (1/2)^3; a5 = (1/2)^4
Para responder esse enunciado é preciso que você tenha conhecimento em progressão geométrica.
Para encontrar o valor correspondente à determinada posição, utilizamos a fórmula:
an = a1 * q^(n-1)
Em que, ''n'' corresponde ao enésimo termo e ''q'' corresponde à razão.
A razão da progressão geométrica é pela divisão de um termo sucessor pelo termo antecessor.
Exemplo:
a1 = 1
a2 = 1/2
q = a2 ÷ a1
q = 1/2 ÷ 1
q = 1/2 * 1
q = 1/2
Para encontrar o centésimo termo, basta utilizarmos a fórmula:
an = a1 * q^(n-1)
a100 = 1 * (1/2)^(100-1)
a100 = (1/2)^99
Como é uma questão adaptada, então iremos utilizar a razão como base da sequência.
- a1 = (1/2)^0
Qualquer número, diferente de 0, elevado a 0 é igual a 1.
- a2 = (1/2)^1 = 1/2
- a3 = (1/2)^2 = 1/4
- a4 = (1/2)^3 = 1/8
- a5 = (1/2)^4 = 1/16
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