Seja f:[1,2] → [ -1,0] definida pela expressão f(x) = x² - 4x + 3 qual das alternativas contém a função f-1 que é a inversa da função espaço f?

Anexos:

Respostas

respondido por: elizeugatao

Para que uma função tenha inversa ela precisa ser bijetora, isto é, injetora e sobrejetora

injetora : todo elemento da imagem possui um único correspondente no domínio

sobrejetora : imagem igual ao contradomínio

Nessa questão temos a função quadrática

f : [1,2] ⇒ [-1,0]

domínio indo de 1 até 2 e imagem de -1 até 0

função :

$\text{f(x)}=\text x^2-4\text x+3$

achando as raízes :

$\text x^2-4\text x+3 = 0 \\\\ \text x^2-4\text x + 1+3 = 1 \\\\ \text x^2-4\text x+4=1 \\\\ (\text x-2)^2=1 \\\\ \text x-2= \pm 1 \\\\ \text x = 2\pm 1 \\\\ \boxed{\text x = 3 \ ; \ \text x = 1}$

Ou seja, para x = 3 e x = 1 temos a mesma imagem f(3)=f(1)=0 ( isso é um problema.. ), mas visto que a questão informa que o domínio é [1,2], ou seja, o x = 3 não entra na história. Então ela é inversível para todo o domínio informado.

para achar a função inversa basta trocar x por y e isolar o y :

$\displaystyle \text y = \text x^2-4\text x+3 \\\\\ \underline{\text{fazendo x = y }} :\\\\ \text x = \text y^2-4\text y+3 \\\\ \text y^2-4\text y+3 - \text x \\\\ \text y = \frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4(3-\text x)}}{2.1} \\\\\\ \text y = \frac{4\pm\sqrt{16-12+4\text x}}{2} \\\\\\ \text y = \frac{4\pm\sqrt{4(1+\text x) }}{2} \\\\\\ \text y = \frac{4\pm2\sqrt{1+\text x}}{2} \\\\\\ \text y = 2+\sqrt{1+\text x} \\\\\ \text y = 2-\sqrt{1+\text x}$

Se observarmos vemos essas alternativas na letra a e na letra e, e o intervalo é : [-1,0] ⇒ [1,2]

fazendo o teste :

$\text x = -1 \ \therefore \ \text f^{-1} = 2+\sqrt{1+\text x} \to \text f^{-1} = 2 \ \checkmark \text{verdadeiro} \\\\ \text x = 0 \ \therefore \ \text f^{-1} = 2+\sqrt{1+\text x} \to \text f^{-1} = 3 \ \underline{\text{falso }}$