Question

a) Demonstre que o sistema

x+y+2z=2, 2x−y+3z=2, 5x−y+az=6, tem uma única solução se a≠8;

b) Determine todas as soluções se a=8.

Answer 1

Todas as soluções do sistema são dadas pela expressão

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}S = \bigg\{\left(\dfrac{4-5z}{3},\ \dfrac{2-z}{3},\ z\right) \bigg\},\quad z \in \mathbb{R} \end{aligned} }$

Para o item a, vide explicação.

Podemos verificar se um sistema possui uma única solução fazendo o seu determinante, a partir da seguinte regra, se temos o sistema:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}ax+b y+c z=d\\ex+ fy+gz=h\\ix + jy+ kz=l\end{cases}\end{aligned}$

Então podemos verificar a existência de solução com o determinante dos coeficientes:

          $\Large\displaystyle\begin{aligned}\det \left[\begin{array}{ccc}a & b & c\\ e & f & g\\i & j & k\end{array}\right]\Rightarrow \begin{cases}\det \ne 0, \text{ solu\c c\~ao \'unica }\\\det = 0, \text{ SPI ou SI }\end{cases}\end{aligned}$

Então aplicando a regra no sistema do enunciado:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}x+y+2z=2\\2x-y+3z=2\\5x - y+ az=6\end{cases}\end{aligned}$

A matriz dos coeficiente fica:

                               $\Large\displaystyle\begin{aligned}\det \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 3\\5 & -1 & a\end{array}\right] \ne 0\end{aligned}$

Podemos usar a regra de Sarrus ou desenvolver por Laplace, por Laplace temos:

                      $\Large\displaystyle\begin{aligned}\left | \begin{array}{c c}-1 & 3 \\-1 & a \end{array}\right | -\left | \begin{array}{c c}2 & 3 \\5 & a \end{array}\right | + 2\left | \begin{array}{c c}2 & -1 \\5 & -1 \end{array}\right | \ne 0 \end{aligned}$

E por fim:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}(-a+3)-(2a-15)-2(-6)\ne 0\\ \\-3a+3-15-12\ne 0\\ \\-3a+24\ne 0\\ \\3a\ne 24\\ \\a \ne 8 \\ \\\end{gathered}$

Portanto, somente se a for diferente de 8 temos o determinante diferente de 0, e logo temos uma solução única.

Sabemos já que se a = 8, temos infinitas soluções, ou seja, podemos expressar todas as soluções como uma tripla ordenada, vamos então escalonar o sistema e como o determinante é igual a zero, umas das variaveis é obrigatoriamente escrita como combinação das outras.

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 3\\5 & -1 & 8\end{array}\right|\left. \begin{array}{c}2\\2\\6\\\end{array}\right] L'_2 = L_2 - 2L_1 \sim \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\ 0 & -3 & -1\\5 & -1 & 8\end{array}\right|\left. \begin{array}{c}2\\-2\\6\\\end{array}\right]\end{aligned}$

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\ 0 & -3 & -1\\5 & -1 & 8\end{array}\right|\left. \begin{array}{c}2\\-1\\6\\\end{array}\right] L'_3 = L_3 - 5L_1 \sim\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\ 0 & -3 & -1\\0 & -6 & -2\end{array}\right|\left. \begin{array}{c}2\\-2\\-4\\\end{array}\right]\end{aligned}$

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\ 0 & -3 & -1\\0 & -6 & -2\end{array}\right|\left. \begin{array}{c}2\\-2\\-4\\\end{array}\right] L'_2 = -\dfrac{L_2}{3} \sim\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{3}\\ 0 & -6 & -2\end{array}\right|\left. \begin{array}{c}2\\ \tfrac{2}{3}\\ -4\\\end{array}\right]\end{aligned}$

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{3}\\0 & -6 & -2\end{array}\right|\left. \begin{array}{c}2\\\tfrac{2}{3}\\-4\\\end{array}\right] L'_3 = L_3 + 6L_2 \sim \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{3}\\0 & 0 & 0\end{array}\right|\left. \begin{array}{c}2\\\tfrac{2}{3}\\0\\\end{array}\right]\end{aligned}$

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{3}\\0 & 0 & 0\end{array}\right|\left. \begin{array}{c}2\\\tfrac{2}{3}\\0\\\end{array}\right] L'_1 = L_1 - L_2 \sim \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \tfrac{5}{3}\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{3}\\0 & 0 & 0\end{array}\right|\left. \begin{array}{c}\tfrac{4}{3}\\\tfrac{2}{3}\\0\\\end{array}\right]\end{aligned}$

Portanto agora temos nosso sistema escalonado, então podemos dizer que:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}x+\dfrac{5z}{3}=\dfrac{4}{3}\\ \\y+\dfrac{z}{3}=\dfrac{2}{3}\end{cases}\end{aligned}$

Isolando as variáveis podemos escrever x e y em função de z, sendo assim:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}x =\dfrac{4}{3}- \dfrac{5z}{3}\\ \\y=\dfrac{2}{3}-\dfrac{z}{3}\end{cases}\end{aligned}$

Portanto todas as soluções possíveis do sistema são dadas pelo vetor de $\large\mathbb{R}^3$:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}S = \bigg\{\left(\dfrac{4-5z}{3},\ \dfrac{2-z}{3},\ z\right) \bigg\},\quad z \in \mathbb{R} \end{aligned} }$

Espero ter ajudado!

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