Question

Mostre que N é um número racional em cada um dos casos a seguir.

a) N = (6+3√2) × (6-3√2)

b) N= √(11+6√2) - √(11-6√2)​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Bom no primeiro caso temos o produto da soma pela diferença. Lembre-se de produtos notáveis, veja que:

(a + b)*(a - b) = a² - b²

No caso da letra a, temos que

a = 6 e b = 3$\sqrt{2}$

Assim pelo produto da soma pela diferença temos:

6² - (3$\sqrt{2}$)²

36 - 9*2

36 - 18

18

18 é um número natural como todo número natural é racional. 18 é racional.

Na letra b, vamos fazer algumas maracutaias

Vamos fazer algumas tranformações

Veja que no radical temos

11 + 6$\sqrt{2}$ e 11 - 6$\sqrt{2}$

Note que o denominador em ambos é 1, se multiplicamos por 2 o numerador r o denominador teremos ums fração equivalente, logo

11 + 6$\sqrt{2}$ = $\frac{22 + 12\sqrt{2} }{2}$ e 11 - 6$\sqrt{2}$ = $\frac{22 - 12\sqrt{2} }{2}$

Agora vamos trabalhar com os numeradores de ambas as frações, veja que:

22 + 12$\sqrt{2}$  = (3$\sqrt{2}$  + 2)² e 22 - 12$\sqrt{2}$  = (3$\sqrt{2}$  - 2)²

Note que quando desenvolver os produtos nótaveis terá:

(3$\sqrt{2}$ + 2)² = 3²$\sqrt{2}$ ² + 2*2*3$\sqrt{2}$ + 2²

                 = 9*2 + 12$\sqrt{2}$  + 4

                 = 18 + 4 + 12$\sqrt{2}$

                 = 22 + 12$\sqrt{2}$

e

(3$\sqrt{2}$ - 2)² = 3²$\sqrt{2}$² - 2*2*3$\sqrt{2}$  + 2²

                  = 9*2 - 12$\sqrt{2}$ + 4

                  = 22 - 12$\sqrt{2}$

Logo vamos aplicar essa substituição no radical

Substituir no primeiro

11 + 6$\sqrt{2}$  = $\frac{(3\sqrt{2} + 2)^2 }{2}$

no segundo

11 - 6$\sqrt{2}$  = $\frac{(3\sqrt{2} - 2)^2 }{2}$

Logo nossa nova expressão será

N = $\sqrt{\frac{(3\sqrt{2}+2)^2 }{2} }$ + $\sqrt{\frac{(3\sqrt{2}-2)^2 }{2} }$

Note que temos um quadrado perfeito em ambos os numerados logo podemos extraí-lo da raiz edeixar somente o divisor, como é uma divisão podemos fazer isso, logo:

N = $\frac{(3\sqrt{2}+2) }{\sqrt{2} }$ + $\frac{(3\sqrt{2}-2) }{\sqrt{2} }$

N = $\frac{3\sqrt{2}+2+3\sqrt{2}-2}{\sqrt{2} }$

Note temos termos igual, assim

N = $\frac{6\sqrt{2} }{\sqrt{2} }$

Simplica $\sqrt{2}$

N = 6

Logo 6 é racional