Question

O ''questãozinha'' lerda haha, gente estou com dúvida somente na letra (C), então só resolva a (C), o meu resultado está resultando: $\frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ , MAS O GABARITO ESTÁ $\frac{11}{30}$ , HELPP!!!!

Answer 1

c)
quadrados perfeitos entre 1 e 30:
1, 4, 9, 16 e 25 = 5 opções

divisores de 36:
36 = 2².3², logo seus divisores podem assumir a forma $2^{n}.3^{m}$, onde n e m variam de 0 a 2. Temos 3 opções para n (0,1 ou 2) e 3 para m. O número total de divisores de 36 será 3.3 = 9. Desconsiderando a opção 36 (só me interessam os divisores menores do que 30), ficamos com 8 divisores possíveis.

Agora temos que verificar quais números repetem nos dois grupos. São os
números 1, 4 e 9 (quadrados perfeitos e divisores de 36):

O número total de opções será: 5 + 8 - 3 = 10

A probabilidade será:
$\frac{10}{30}$ = $\frac{1}{3}.$

Answer 2

Para esta questão, o espaço amostral é

$S=\{1,\;2,\;\ldots,\;29,\;30\}$


que possui

$n(S)=30\text{ elementos}$


c) Vamos definir os seguintes eventos:

$\bullet\;\;E_{1}=\{\text{o n\'{u}mero sorteado \'{e} quadrado perfeito}\}\\ \\ E_{1}=\{x \in S\left|\,x\text{ \'{e} quadrado perfeito}\right.\}\\ \\ E_{1}=\{x \in S\left|\,x=n^{2},\;\text{para algum }n \in \mathbb{N}\right.\}\\ \\ E_{1}=\{1^{2},\;2^{2},\;3^{2},\;4^{2},\;5^{2}\}\\ \\ E_{1}=\{1,\;4,\;9,\;16,\;25\}$


e este evento possui

$n(E_{1})=5\text{ elementos}$


$\bullet\;\;E_{2}=\{\text{o n\'{u}mero sorteado \'{e} divisor de }36\}\\ \\ E_{2}=\{x \in S\left|\,x\text{ \'{e} divisor de }36\right.\}\\ \\ E_{2}=\{x \in S\left|\,k\cdot x=36,\;\text{para algum }k \in \mathbb{N}\}$

Até aqui tudo bem. Mas, quais são os elementos do evento $E_{2}?$ Deve-se ter atenção aqui.

Os elementos de $E_{2}$ são todos os divisores de $36$ que estão entre $1$ e $30:$

$E_{2}=\{1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;9,\;12,\;18\}$


e o evento $E_{2}$ possui

$n(E_{2})=8\text{ elementos}$


$\bullet\;\;$ Encontrando a interseção entre os eventos $E_{1}$ e $E_{2}:$

$E_{1}\cap E_{2}=\{x\in S\left|\,x\text{ \'{e} quadrado perfeito }\mathbf{e}\text{ divisor de 36}\right.\}\\ \\ E_{1}\cap E_{2}=\{1^{2},\;2^{2},\;3^{2}\}\\ \\ E_{1}\cap E_{2}=\{1,\;4,\;9\}$


e a interseção possui

$n(E_{1}\cap E_{2})=3\text{ elementos}$


$\bullet\;\;$ Calculando as probabilidades dos eventos $E_{1},$ $E_{2}$ e da interseção $E_{1}\cap E_{2}:$

$p(E_{1})=\frac{n(E_{1})}{n(S)}\\ \\ p(E_{1})=\frac{5}{30}\\ \\ \\ p(E_{2})=\frac{n(E_{2})}{n(S)}\\ \\ p(E_{2})=\frac{8}{30}\\ \\ \\ p(E_{1}\cap E_{2})=\frac{n(E_{1}\cap E_{2})}{n(S)}\\ \\ p(E_{1}\cap E_{2})=\frac{3}{30}$


$\bullet\;\;$ A questão pede a probabilidade de o número sorteado ser quadrado perfeito OU divisor de $36.$ Então, queremos saber a probabilidade da união entre os eventos $E_{1}$ e $E_{2}:$

$p(E_{1}\cup E_{2})=p(E_{1})+p(E_{2})-p(E_{1}\cap E_{2})\\ \\ p(E_{1}\cup E_{2})=\frac{5}{30}+\frac{8}{30}-\frac{3}{30}\\ \\ p(E_{1}\cup E_{2})=\frac{5+8-3}{30}\\ \\ p(E_{1}\cup E_{2})=\frac{10}{30}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} p(E_{1}\cup E_{2})=\frac{1}{3}\approx 33,3\% \end{array}}$