Question

resolver o sistema linear

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos o seguinte sistema linear, utilizaremos o método do escalonamento e da matriz ampliada.

Seja o sistema:

$\begin{cases}4x-y+2z=3\\x+2y+3z=-2\\4y+5z=6\\\end{cases}$

Reescrevendo o sistema como uma matriz ampliada, temos:

$\left[\begin{array}{ccc|c}4&-1&2&3\\1&2&3&-2\\0&4&5&6\\\end{array}\right]$

Para escalonarmos o sistema, escolhemos ao início um elemento pivô, pertencente a diagonal principal e multiplicamos sua linha por uma constante, de modo que ao somarmos com outra linha, sua soma com seu elemento respectivo se anule.

Por exemplo, escolhendo $a_{11}=4$ como elemento pivô, multiplique a primeira linha por $-\dfrac{1}{4}$ e some à segunda linha

$\left[\begin{array}{ccc|c}4&-1&2&3\\\\0&\dfrac{9}{4}&\dfrac{5}{2}&-\dfrac{11}{4}\\\\0&4&5&6\\\end{array}\right]$

Visto que o elemento $a_{31}=0$, partimos para o próximo elemento pivô: $a_{22}=\dfrac{9}{4}$. Multiplique a segunda linha por $-\dfrac{16}{9}$ e some à terceira linha.

$\left[\begin{array}{ccc|c}4&-1&2&3\\\\0&\dfrac{9}{4}&\dfrac{5}{2}&-\dfrac{11}{4}\\\\0&0&\dfrac{5}{9}&\dfrac{98}{9}\\\end{array}\right]$

Então, voltamos para a notação de sistema linear:

$\begin{cases}4x-y+2z=3\\\\\dfrac{9}{4}y+\dfrac{5}{2}z=-\dfrac{11}{4}\\\\\dfrac{5}{9}z=\dfrac{98}{9}\\\end{cases}$

Resolvendo a equação na terceira linha, temos:

$\dfrac{5}{9}z=\dfrac{98}{9}\\\\\\ z=\dfrac{98}{9}\cdot\dfrac{9}{5}\\\\\\ z=\dfrac{98}{5}$

Substituindo este resultado na segunda linha e resolvendo a equação, temos:

$\dfrac{9}{4}y+\dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{98}{5}=-\dfrac{11}{4}\\\\\\ \dfrac{9}{4}y+49=-\dfrac{11}{4}\\\\\\ \dfrac{9}{4}y=-\dfrac{207}{4}\\\\\\ y=-\dfrac{207}{4}\cdot\dfrac{4}{9}\\\\\\ y=-23$

Por fim, substituindo ambos os resultados na primeira linha e resolvendo a equação, temos:

$4x-(-23)+2\cdot\dfrac{98}{5}=3\\\\\\ 4x+23+\dfrac{196}{5}=3\\\\\\ 4x = -\dfrac{296}{5}\\\\\\ x = -\dfrac{296}{5}\cdot\dfrac{1}{4}\\\\\\ x = -\dfrac{74}{5}$

Assim, o conjunto solução do sistema é:

$\boxed{\bold{S=\left\{(x,~y,~z)\in{\mathbb{R}}^3~\biggr|~(x,~y,~z)=\left(-\dfrac{74}{5},~-23,~\dfrac{98}{5}\right)\right\}}}$