Question

Qual é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o sol está 30º acima do horizonte?
a-3√6 m
b-6√2 m
c-5√3 m
d-4√5 m
e-2√7 m

Answer 1

Resposta:

c) $5\sqrt3$ m

Explicação passo-a-passo:

Ao fazer um esboço igual à imagem observamos um triângulo retângulo formado pela altura $h$ da árvore, sombra $s$ da árvore e o ângulo do raio de sol com a superfície, $30^\circ$.

Podemos aplicar conceitos de trigonometria. Temos o cateto oposto (altura) e o cateto adjacente (sombra), podemos calcular a tangente do ângulo $30^\circ$.

Assim,

$tan\ 30^\circ = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}\\\\tan\ 30^\circ = \dfrac{\text{altura da arvore}}{\text{sombra da arvore}}\\\\tan\ 30^\circ =\dfrac{5}{s}$

Com uma tabela trigonométrica, você pode verificar que a tangente de $30^\circ$ é igual a $\dfrac{\sqrt3}{3}$, logo

$\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{5}{s}\\\\s\sqrt3=3\times5\\s=\dfrac{15}{\sqrt3}$

Como não é usual deixar um radical como denominador, fazemos o seguinte,

$s=\dfrac{15}{\sqrt3}\times\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}\\\\s=\dfrac{15\times\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}\\\\s=\dfrac{15\sqrt3}{\sqrt{3^2}}\\\\s=\dfrac{15\sqrt3}{3}\\\\s=5\sqrt3$

Assim, a sombra equivale a $5\sqrt3$ metros.