Question

05) (ESPM/2018) Para que o
número 64.800 se torne
um cubo perfeito, devemos:
a) multiplicá-lo por 30.
b) dividi-lo por 60.
c) multiplicá-lo por 90.
d) dividi-lo por 150.
e) multiplicá-lo por 18.​

Answer 1

Devemos a priori decompor 64800 em fatores primos.

$64800 = 8 \cdot 81 \cdot 100 = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2$

Um número é um cubo perfeito se, na sua decomposição em fatores primos, todos os fatores estão elevados a expoentes múltiplos de 3. No caso, os expoentes dos fatores na decomposição de 64800 são 5, 4 e 2. Logo, precisamos transformá-los em 6,6 e 3 , uma vez que 6 é o múltiplo de 3 mais próximo de 4 e 5, e 3 é o múltiplo de 3 mais próximo de 2. Então, temos de fazer a seguinte multiplicação:

$2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2^6 \cdot 3^6 \cdot 5^3 = (2^2 \cdot 3^2 \cdot 5)^3$

Isto é, multiplicamos 64800 por:

$2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90$

Resposta : item c)

Answer 2

Para transformar o número 64.800 em um cubo perfeito devemos dividir por 90. (Alternativa C)

Cubo perfeito

O cubo perfeito pode ser definido como um número natural inteiro positivo cuja sua raiz cúbica também resulta em um número natural inteiro positivo. Veja os exemplos abaixo:

• ∛1 = 1, ∛8 = 2, ∛27 = 3, ∛64 = 4, ∛125 = 5, ∛216 = 6, ∛343 = 7, ∛512 = 8, ∛729 = 9, ∛1.000 = 10...

Para obter um cubo perfeito ao realizar a decomposição em fatores primos todos os números devem ter expoentes múltiplos de 3.

Ao fatorar 64.800, tem-se:

$\begin{array}{r|l}34.800&2\\32.400&2\\16.200&2\\8.100&2\\4.050&5\\810&3 \\270&3\\90&3\\30&3\\10&2\\5&5\\1\end{array}$

64.800 = 5².3⁴.2⁵

Observe que os expoentes de 5, 3 e 2 são respectivamente iguais a 2, 4 e 5 sendo nenhum deles são múltiplo de 3, Para colocar um expoente múltiplo de 3 em cada número iremos usar a propriedade da divisão entre potências de bases iguais.

Divisão de potências de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes - ver abaixo:

aⁿ:aᵇ = aⁿ⁻ᵇ

O menor expoente de 5, 3 e 2 múltiplo de 3 é respectivamente 3, 6 e 6, desse modo, temos:

(5².3⁴.2⁵)/(5⁻¹.3⁻².2⁻¹) = 5²⁻⁽⁻¹⁾.3⁴⁻⁽⁻²⁾.2⁵⁻⁽⁻¹⁾ = 5³.3⁶.2⁶

Desse modo, o denominado da fração é igual a:

5⁻¹.3⁻².2⁻¹ = 1/(5¹.3².2¹) = 1/(5.9.2) = 1/90

Continue estudando mais sobre a potência em:

https://brainly.com.br/tarefa/51332548