Question

Por que a afirmativa lim √x = 0 ´e incorreta?
x→0

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos demonstrar o porquê da afirmativa $\underset{x\rightarrow 0}{\lim}~\sqrt{x}=0$ ser incorreta.

Lembre-se que para confirmarmos a continuidade de uma função em um ponto, devemos validar os seguintes critérios:

• O limite da função neste ponto existe.
• O limite da função neste ponto é igual ao valor da função calculada neste ponto.
• Os limites laterais da função são iguais.

Os limites laterais se referem ao comportamento da variável em relação ao número.

Lembre-se que quando esta variável tende ao número, não necessariamente se fala sobre o número e sim sobre números cuja diferença deste é infinitesimalmente pequena.

Como exemplo, se $x\rightarrow0^+$, os valores $0.1,~0.01,~0.001,~\cdots$ são utilizados para analisar o comportamento da função à medida que a variável se aproxima de zero pela direita.

Da mesma forma, se $x\rightarrow0^-$, os valores $-0.1,~-0.01,~-0.001,~\cdots$ são utilizados para esta análise à medida que a variável se aproxima de zero pela esquerda.

Lembre-se também que o domínio da função $\sqrt{x}\in\mathbb{R},~\forall{x}\geq0$

Com isso, o limite lateral quando $x$ se aproxima de zero pela esquerda: $\underset{x\rightarrow0^-}{\lim}~\sqrt{x}\not{\exist}~\mathbb{R}$ e então, pode-se dizer que:

O limite da função $\bold{\sqrt{x}}$ quando $\bold{x\rightarrow 0^{-}}$ não existe e, dessa forma, conclui-se que a afirmação $\bold{\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\sqrt{x}}$ é incorreta.

Observe no gráfico da imagem em anexo que a função não está definida para valores negativos, o que inviabiliza o cálculo do limite lateral mencionado anteriormente.