Question

O primeiro termo de uma série geométrica é 3 e o quinto termo é $\frac{16}{27}$. Encontre a soma da série infinita.

Answer 1

            $t_1=3\\ t_5=3r^4=\dfrac{16}{27}\to r=\dfrac{2}{3}\\ \\ t_n=3\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\ \\ \displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}3\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\ \\ S=3\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{9}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\\ \\ \text{como }\dfrac{2}{3}\ \textless \ 1\text{ entonces }S \text{ es convergente}\\ \\ S=\dfrac{9}{2}\cdot \dfrac{1}{1-\frac{2}{3}}\\ \\ \boxed{S=\dfrac{27}{2}}$