o comandante de um destacamento militar ordenou que seus subordinados se organizassem em filas, a primeira fila era composta por 14 sildados, a segunda por 18 soldados, a terceira por 22 soldados, e assim sucessivamente. Sabe-se que o número de soldados deste destacamento é igual a 1550. dessa forma quantas filas serão formadas?
Respostas
PA(14, 18, 22., ... an)
Primeiramente devemos determinar a última fila, an; pois a soma 1550, depende do primeiro, do último, do número de filhas.
an = a1 + (n-1)r
an = 14 + (n-1)4
an = 14 +4n - 4
an = 4n + 10
Sn = (a1 + an)n/2
1550 = (14 + 4n + 10) n/2
(4n + 4) . n/2 = 1550
n(4n + 24) = 3100
4n² + 24n = 3100
4n² + 24n - 3100 = 0
n² + 6n - 775 = 0
Δ = 36 + 3100 = 3036
n + ( -6 - 56)/2 = -62/2 = - 31 ( não serve
ou
n= (-6+ 56)/2 = 50/2 = 25
A quantidade de filas formadas pelos soldados é 25.
Note que as quantidades de soldados por fila formam uma progressão aritmética. A razão dessa progressão é a diferença entre o número de soldados de uma fila e o número de soldados da fila anterior, ou seja, na segunda fila há 18 soldados e na primeira há 14, logo, a razão é r = 18 - 14 = 4.
O primeiro termo da progressão é 14 e o último é desconhecido, mas sabe-se que a soma dos soldados é 1550, então, utilizando a fórmula do termo geral e da soma dos termos da PA, temos:
an = a1 + (n-1).r
Sn = (a1 + an)n/2
1550 = (14 + 14 + (n-1).4)n/2
3100 = (28 + 4n - 4)n
4n² - 4n + 28n = 3100
4n² + 24n - 3100 = 0
Utilizando a fórmula de Bhaskara, obtemos:
n' = 25 e n'' = -31
Como n deve ser positivo, o número de filas é 25.
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