Question

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Determine o número real q para que os pontos A(6, 2), B(1, 4) e C(2, q+3) sejam vértices
de um triângulo.

Answer 1

Para que os pontos A, B e C dados pela questão sejam vértices de um triângulo, q pode assumir qualquer número real, mas, não sendo o 3/5. Isto é, q ∈ ℝ | q ≠ 3/5.

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Dado três pontos A(6 , 2); B(1 , 4) e C(2 , q + 3), queremos determinar o número real q de modo que esses pontos sejam vértices de um triângulo. Ora, sabemos que para termos um triângulo os pontos não devem ser colineares, isto é, não devem ser alinhados formando uma reta.

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Sabemos que para três pontos distintos serem colineares, o determinante formado por suas coordenadas deve ser igual a zero, logo, para que três pontos distintos serem não-colineares o determinante formado por suas coordenadas deve ser diferente de zero:

$\\\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf\left|\begin{array}{ccc}\sf x_a&\sf y_a&\sf1\\\sf x_b&\sf y_b&\sf1\\\sf x_c&\sf y_c&\sf1\end{array}\right|\neq0\\\\\sf\iff~~~\left|\begin{array}{ccc}\sf6&\sf2&\sf1\\\sf1&\sf4&\sf1\\\sf2&\sf q+3&\sf1\end{array}\right|\neq0\end{array}$

Pela Regra de Sarrus, repetimos as duas colunas iniciais, fazemos a soma do produto da diagonal principal, e subtraímos da soma do produto da diagonal secundária:

$\begin{array}{l}\sf\iff~~~\left|\begin{array}{ccc}\sf6&\sf2&\sf1\\\sf1&\sf4&\sf1\\\sf2&\sf q+3&\sf1\end{array}\right|\begin{matrix}\sf6&\sf2\\\sf1&\sf4\\\sf2&\sf q+3\end{matrix}~\neq0\\\\\sf\iff~~~6.4.1+2.1.2+1.1.(q+3)-[1.4.2+6.1.(q+3)+2.1.1]\neq0\\\\\sf\iff~~~24+4+q+3-[8+6q+18+2]\neq0\\\\\sf\iff~~~31+q-[28+6q]\neq0\\\\\sf\iff~~~31+q-28-6q\neq0\\\\\sf\iff~~~3-5q\neq0\\\\\sf\iff~~~5q\neq3\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boldsymbol{\boxed{\sf q\neq\dfrac{3}{5}}}\end{array}$

Dessarte, q ∈ ℝ | q ≠ 3/5. Ou seja, o único valor real que q não deve assumir é o 3/5, pois se ele assumir, os pontos formaram uma reta e não um triângulo.

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