Question

A aceleração angular de uma roda é ∝= 24t^3 − 8t^2 t, no SI. No instante t=0 a roda tem uma velocidade angular de 2rad/s e uma posição angular de 5rad. Escreva a expressão para a velocidade angular e para a posição angular em função do tempo.

Answer 1

Por definição, aceleração é:

$a = \frac{dV}{dt}$

Onde dV é a variação de velocidade e dt é a variação do tempo. Então temos:

$\frac{dV}{dt} = 24t^3 - 8t^2$

$dV = (24t^3 - 8t^2)*dt$

Aplicando a integral:

$\int\limits {} \, dV = \int\limits {(24t^3 - 8t^2)} \, dt$

$V = \int\limits {24t^3} \, dt - \int\limits {8t^2} \, dt$

$V = \frac{24}{4} t^4 - \frac{8}{3} 8t^3 + Vo$

simplificando 24 por 4:

$V = 6t^4 - \frac{8}{3}t^3 + 2$

O valor da velocidade inicial (Vo) nos foi dado na questão, então temos a equação de velocidade em função do tempo definida por:

$V_{(t)} = 6t^4 - \frac{8}{3} t^3 - 2$

Para encontrar a equação de espaço em função do tempo, basta integrar a a função da velocidade em função do tempo uma vez que:

$V = \frac{ds}{dt}$

* ds = variação de espaço.

Temos agora:

$\frac{ds}{dt} = 6t^4 - \frac{8}{3}t^3 + 2$

$ds = ( 6t^4 - \frac{8}{3}t^3 + 2)dt$

$\int\limits \, ds = \int\limits {(6t^4 - \frac{8}{3}t^3 + 2)} \, dt$

$S = \int\limits {6t^4} \, dt - \int\limits { \frac{8}{3}t^3} \, dt - \int\limits{2} \, dt$

$S = \frac{6}{5}t^5 - \frac{8}{12}t^4 + 2t + So$

Simplificando 8 e 12 temos a fórmula final:

$S_{(t)} = \frac{6}{5}t^5 - \frac{2}{3}t^4 + 2t + So$

Como nos foi dito na questão, o espaço inicial é 5 rad, então temos:

$S_{(t)} = \frac{6}{5}t^5 - \frac{2}{3}t^4 + 2t + 5$