Question

Resolva o sistema usando Regra de Cramer

Answer 1

Fazendo pela regra de Cramer, o sistema da questão é possível e determinado, e seu conjunto solução é S = {(– 1  ,  1  ,  – 1)}.

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→ Dado o seguinte sistema linear 3x3

                                        $\Large\qquad\begin{array}{l}\begin{cases}\:\sf3^{}x+2^{}y-z=0\\\:\sf x+3^{}y+z=1\\\:\sf2^{}x+2^{}y-2=2\end{cases}\end{array}$

, precisamos encontrar x, y e z pela regra de Cramer. A resolução por esta regra estará sendo explicada no decorrer da explicação.

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→ De antemão por esta regra, vamos considerar as seguintes fórmulas para encontrar cada incógnita:

                        $\large\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\sf x=\dfrac{~D_x~}{D}\quad;\quad y=\dfrac{~D_y~}{D}\quad;\quad z=\dfrac{~D_z~}{D}\end{array}}}$

Onde:

• D = determinante formado pelos coeficientes do sistema;
• Dx = determinante D mas com a primeira coluna dos termos independentes;

• Dy = determinante D mas com a segunda coluna dos termos independentes;

• Dz = determinante D mas com a terceira coluna dos termos independentes.

Obs.: para encontrar o valor de um determinante 3x3, usamos a regra de Sarrus, onde se repete as duas colunas iniciais, faz a soma do produto da diagonal principal e subtrai da soma do produto da diagonal secundária.

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→ Assim, vamos calcular o determinante D:

$\begin{array}{l}\sf D=\left|\begin{array}{ccc}\sf3&\sf2&\sf\!\!\!\!-1\\\sf1&\sf3&\sf1\\\sf2&\sf2&\sf\!\!\!\!-2\end{array}\right|\\\\\sf D=\left|\begin{array}{ccc}\sf3&\sf2&\sf\!\!\!\!-1\\\sf1&\sf3&\sf1\\\sf2&\sf2&\sf\!\!\!\!-2\end{array}\right|\begin{matrix}~\sf3&\sf2\\~\sf1&\sf3\\~\sf2&\sf2\end{matrix}\\\\\sf D=3.3.(-2)+2.1.2-1.1.2-[-1.3.2+3.1.2+2.1.(-2)]\\\\\sf D=-\,18+4-2-[-\,6+6-4]\\\\\sf D=-\,16-[-\,4]\\\\\sf D=-\,16+4\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf D=-\,12}}\end{array}$

Como D ≠ 0, temos que é um SPD (Sistema Possível e Determinado), logo haverá um único trio ordenado como solução.

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→ Agora vamos calcular o determinante Dx. Como foi dito na apresentação dele, vamos usar o mesmo determinante D, porém vamos trocar a primeira coluna pelos termos independentes:

$\begin{array}{l}\sf D_x=\left|\begin{array}{ccc}\!\boxed{\sf0}&\sf2&\sf\!\!\!\!-1\\\!\boxed{\sf1}&\sf3&\sf1\\\!\boxed{\sf2}&\sf2&\sf\!\!\!\!-2\end{array}\right|\\\\\sf D_x=\left|\begin{array}{ccc}\sf0&\sf2&\sf\!\!\!\!-1\\\sf1&\sf3&\sf1\\\sf2&\sf2&\sf\!\!\!\!-2\end{array}\right|\begin{matrix}~\sf0&\sf2\\~\sf1&\sf3\\~\sf2&\sf2\end{matrix}\\\\\sf D_x=0.2.(-2)+2.1.2-1.1.2-[-1.3.2+0.1.2+2.1.(-2)]\\\\\sf D_x=0+4-2-[-\,6+0-4]\\\\\sf D_x=2-[-\,10]\\\\\sf D_x=2+10\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf D_x=12}}\end{array}$

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→ Agora calculando o determinante Dy, é o mesmo esquema do anterior, mas vamos trocar a segunda coluna pelos termos independentes:

$\begin{array}{l}\sf D_y=\left|\begin{array}{ccc}\sf3&\!\boxed{\sf0}&\sf\!\!\!\!-1\\\sf1&\!\boxed{\sf1}&\sf1\\\sf2&\!\boxed{\sf2}&\sf\!\!\!\!-2\end{array}\right|\\\\\sf D_y=\left|\begin{array}{ccc}\sf3&\sf0&\sf\!\!\!\!-1\\\sf1&\sf1&\sf1\\\sf2&\sf2&\sf\!\!\!\!-2\end{array}\right|\begin{matrix}~\sf3&\sf0\\~\sf1&\sf1\\~\sf2&\sf2\end{matrix}\\\\\sf D_y=3.1.(-2)+0.1.2-1.1.2-[-1.1.2+3.1.2+0.1.(-2)]\\\\\sf D_y=-6+0-2-[-2+6-0]\\\\\sf D_y=-\,8-[4]\\\\\sf D_y=-\,8-4\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf D_y=-\,12}}\end{array}$

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→ E por fim vamos agora calcular o determinante Dz, dessa vez vamos trocar a terceira coluna pelos termos independentes:

$\begin{array}{l}\sf D_z=\left|\begin{array}{ccc}\sf3&\sf2&\!\boxed{\sf0}\\\sf1&\sf3&\!\boxed{\sf1}\\\sf2&\sf2&\!\boxed{\sf2}\end{array}\right|\\\\\sf D_z=\left|\begin{array}{ccc}\sf3&\sf2&\sf0\\\sf1&\sf3&\sf1\\\sf2&\sf2&\sf2\end{array}\right|\begin{matrix}~\sf3&\sf2\\~\sf1&\sf3\\~\sf2&\sf2\end{matrix}\\\\\sf D_z=3.3.2+2.1.2-0.1.2-(0.3.2+3.1.2+2.1.2)\\\\\sf D_z=18+4-0-[0+6+4]\\\\\sf D_z=22-[10]\\\\\sf D_z=22-10\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf D_z=12}}\end{array}$

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→ Ok, agora nós podemos voltar para as fórmulas, e fazer as substituições para determinar o valor de x, y e z:

$\\\begin{array}{l}\sf x=\dfrac{~D_x~}{D}\quad;\quad y=\dfrac{~D_y~}{D}\quad;\quad z=\dfrac{~D_z~}{D}\\\\\sf x=\dfrac{~12~}{-12~}\quad\!;\quad y=\dfrac{-12~}{-12~}\quad\!\!;\quad z=\dfrac{~12~}{-12~}\\\\\sf x=-\,1\qquad\!;\quad y=1\qquad\,~;\quad z=-\,1\end{array}$

Resposta: dessarte, esse sistema é possível e determinado e seu conjunto solução é:

$\large\boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\sf S=\Big\{\Big(\!-\,1~~,~~1~~,\:\:-\,1\Big)\Big\}\\\\\end{array}}}}$

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