Question

Se $sen^{4}x = 1 + cos ^{2}x,$, então x pode pertencer ao intervalo:
a) $\left[ \pi /4; 3 \pi /4]$
b)$\left[ 0; \pi /6]$
c) $\left[ \pi ; 5 \pi /4]$
d) $\left[ \pi /6 ; \pi /3]$
e) $\left[5 \pi /3; 2 \pi ]$

Answer 1

$\mathrm{sen^{4}\,}x=1+\cos^{2}x\\ \\ (\mathrm{sen^{2}\,}x)^{2}=1+(1-\mathrm{sen^{2}\,}x)\\ \\ (\mathrm{sen^{2}\,}x)^{2}=2-\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ (\mathrm{sen^{2}\,}x)^{2}+\mathrm{sen^{2}\,}x-2=0$


Fazendo a seguinte substituição

$y=\mathrm{sen^{2}\,}x\;\;\;\;(0\leq y\leq 1)$


temos que resolver

$y^{2}+y-2=0$


Podemos resolver a equação do 2º grau acima utilizando a fórmula de Bháskara, ou qualquer outro método de resolução. Aqui, vou resolver por fatoração.


Reescrevendo o termo $+y$ como $+2y-y,$ temos

$y^{2}+2y-y-2=0\\ \\ y\,(y+2)-1\,(y+2)=0$


Agrupando os termos com o fator $(y+2)$ em comum, chegamos a

$(y+2)\,(y-1)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} y+2=0&\;\text{ ou }\;&y-1=0\\ \\ y=-2&\;\text{ ou }\;&y=1\\ \\ \end{array}$


A solução $y=-2$ não serve, pois devemos ter $0\leq y\leq 1.$ Então, a única solução possível é

$y=1$


Substituindo de volta para a variável $x,$

$\mathrm{sen^{2}\,}x=1\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\pm 1\\ \\ \begin{array}{rcl} \mathrm{sen\,}x=1&\;\text{ ou }\;&\mathrm{sen\,}x=-1\\ \\ x=\frac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi&\;\text{ ou }\;&x=-\frac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi \end{array}$

onde $k$ é um número inteiro.


A única alternativa que possui um intervalo que envolve uma das soluções acima é

para $x=\frac{\pi}{2},$

$\frac{\pi}{4}\leq x\leq \frac{3\pi}{4}\\ \\ x \in \left[\frac{\pi}{4};\;\frac{3\pi}{4} \right ].$


Resposta: alternativa $\text{a) }[\pi/4;\;3\pi/4].$