Question

Use a integral por partes para demonstrar a fórmula de redução
$\int\((lnx) ^n dx= x(lnx)^n - n)\int\((lnx)^{n-1} dx$

Answer 1

A regra da integração por partes está em vermelho no anexo. Precisamos pensar na nossa integral como um produto de u e derivada de v. À primeira vista, pode parecer impossível pensar nessa integral como um produto. Todavia, se você pensar bem, (㏑x)ⁿ = (㏑x)ⁿ · 1, um produto! E a derivada de quê te dá 1? Ora, se v = x, então dv = 1! Portanto, nosso v = x e nosso u = (㏑x)ⁿ. Partindo disso, podemos desenvolver a integral usando a regra de integração por partes, chegando ao resultado esperado.