Question

Um bloco de massa m é empurrado por uma força ⃗P como mostrado na
figura abaixo. O coeficiente de atrito entre o piso e o bloco é μs e o ângulo que
a força ⃗P faz abaixo da horizontal é θ.
a) Determine o valor mínimo de ⃗P para que o bloco se mova.
b) Qual deve ser o valo de θ, em função de μs, para que seja impossível
mover o bloco independente do valor de ⃗P .

Answer 1

A força P deve valer, no mínimo, μmg/(cosθ - μsenθ) para que se consiga movimentar o bloco.

Primeiramente vamos calcular as componentes das forças atuantes sobre esse bloco. Verticalmente teremos a força peso do bloco (para baixo), a força normal de reação (para cima) e a componente vertical da força P da figura (para baixo).

Logo, temos:

N = Peso + Psenθ = mg + Psenθ

Portanto, a força de atrito atuante entre o bloco e o solo valerá:

Fat = μN = μ(mg + Psenθ)

Já na horizontal teremos a componente da força P horizontal (para direita) e a força de atrito (para esquerda). Ou seja:

Fat = Pcosθ

μ(mg + Psenθ) = Pcosθ

a) Para que o bloco se mova a componente horizontal da força P deve ser minimamente maior que a força de atrito, logo seu valor mínimo é igual à essa força de atrito.

Conforme vimos anteriormente:

Fat < Pcosθ

μ(mg + Psenθ) < Pcosθ

Isolando P, teremos:

μmg + Pμsenθ < Pcosθ

Pcosθ - Pμsenθ > μmg

P(cosθ - μsenθ) > μmg

P > μmg/(cosθ - μsenθ)

b) Para que o bloco não se mova, basta que a força de atrito seja igual à componente horizonta de P, ou seja:

μ(mg + Psenθ) = Pcosθ

Manipulando:

μmg + μPsenθ = Pcosθ

μPsenθ - Pcosθ = μmg

μsenθ - cosθ = μmg/P

Contudo, nesse tipo de situação o próprio peso do bloco deixará de influenciar, ou seja, a componente μmg pode ser excluída dos cálculos:

μPsenθ = Pcosθ

μsenθ = cosθ

senθ/cosθ = 1/μ

tgθ = 1/μ

θ = arc tg (1/μ)

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