Question

Um jogador de golfe deu três tacadas. Na 1ª tacada, a bola foi lançada segundo um ângulo de 30° em relação ao solo. Na 2ª e na 3ª tacadas, o ângulo foi de 45° e 60°, respectivamente. Despreze a resistência do ar e efeitos aerodinâmicos de rotação da bola.
A) Por que a 2ª bola foi lançada mais distante?
B) Por que a 1ª e a 3ª bolas foram lançadas a uma mesma distância?
C) Por que a 3ª bola atingiu a maior altura?​

Answer 1

Lançamento oblíquo:

$\mathrm{Alcance\ m\acute{a}ximo}\ \to\ \boxed{R_{m\acute{a}x}=\dfrac{v_0^2\sin{2\theta}}{g}}$

$\mathrm{Altura\ m\acute{a}xima}\ \to\ \boxed{H_{m\acute{a}x}=\dfrac{v_0^2\sin^2{\theta}}{2g}}$

1ª tacada:

$\theta_1=\dfrac{\pi}{6}\ \therefore\ R_1=\dfrac{v_0^2\sin{\tfrac{\pi}{3}}}{g}\ \therefore\ \boxed{R_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg(\dfrac{v_0^2}{g}\bigg)}$

$H_1=\dfrac{v_0^2\sin^2{\tfrac{\pi}{6}}}{2g}=\dfrac{\big(\tfrac{1}{2}\big)^2}{2}\bigg(\dfrac{v_0^2}{g}\bigg)\ \therefore\ \boxed{H_1=\dfrac{1}{8}\bigg(\dfrac{v_0^2}{g}\bigg)}$

2ª tacada:

$\theta_2=\dfrac{\pi}{4}\ \therefore\ R_2=\dfrac{v_0^2\sin{\tfrac{\pi}{2}}}{g}\ \therefore\ \boxed{R_2=\dfrac{v_0^2}{g}}$

$H_2=\dfrac{v_0^2\sin^2{\tfrac{\pi}{4}}}{2g}=\dfrac{\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big)^2}{2}\bigg(\dfrac{v_0^2}{g}\bigg)\ \therefore\ \boxed{H_2=\dfrac{1}{4}\bigg(\dfrac{v_0^2}{g}\bigg)}$

3ª tacada:

$\theta_3=\dfrac{\pi}{3}\ \therefore\ R_3=\dfrac{v_0^2\sin{\tfrac{2\pi}{3}}}{g}\ \therefore\ \boxed{R_3=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg(\dfrac{v_0^2}{g}\bigg)}$

$H_3=\dfrac{v_0^2\sin^2{\tfrac{\pi}{3}}}{2g}=\dfrac{\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)^2}{2}\bigg(\dfrac{v_0^2}{g}\bigg)\ \therefore\ \boxed{H_3=\dfrac{3}{8}\bigg(\dfrac{v_0^2}{g}\bigg)}$

A) O alcance máximo de um lançamento oblíquo ocorre quando $\theta=\dfrac{\pi}{4}$, pois este é calculado em função de $\sin{2\theta}=\sin{\tfrac{\pi}{2}}=1$, que é o valor máximo para o seno. Logo, a 2ª tacada terá o maior alcance entre as três.

B) Porque $\sin{\tfrac{\pi}{3}}=\sin{\tfrac{2\pi}{3}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$. Os senos dos ângulos de lançamento da 1ª e 2ª tacadas multiplicados por 2 é igual. Logo, o alcance será o mesmo.

C) A fórmula da altura é baseada no $\sin^2{\theta}$. Como a 3ª tacada possui o maior ângulo de lançamento, terá também a maior altura máxima.