Question

URGENTE POR FAVOR !!!!!!
Um jogador de golfe deu três tacadas. Na 1ª tacada, a bola foi lançada segundo um ângulo de 30° em relação ao solo. Na 2ª e na 3ª tacadas, o ângulo foi de 45° e 60°, respectivamente. Despreze a resistência do ar e efeitos aerodinâmicos de rotação da bola.
A) Por que a 2ª bola foi lançada mais distante?
B) Por que a 1ª e a 3ª bolas foram lançadas a uma mesma distância?
C) Por que a 3ª bola atingiu a maior altura?​

Answer 1

Resposta (confira a explicação para as contas):

a) A equação para alcance máximo depende de diretamente de $\sin (2\theta)$, então para lançamentos com velocidade de mesma magnitude e submetidos a uma mesma gravidade, quanto maior for  $\sin(2\theta)$ maior será o alcance. Fazendo as contas, o 2° lançamento possui o maior.

b) Pela mesma justificativa da letra a), e sabendo que o seno de 60° e o seno de 120° são iguais, o alcance do 1° e 3° lançamento foi igual uma vez feitas as contas.

c) A equação para altura máxima depende diretamente de $\sin^2(\theta)$ então para lançamentos com velocidade de mesma magnitude e submetidos a uma mesma gravidade, quanto maior for  $\sin^2(\theta)$  maior será a altura máxima. Fazendo as contas para cada um dos lançamentos, concluímos que o ângulo que resulta na maior altura entre os demais é o de 60°, isto é, o 3° lançamento.

Explicação:

A equação do alcance de um projétil em lançamento oblíquo é dada por

$A = v_{o_x} \cdot t_{total}$

Onde $t_{total}$ é o tempo que leva para o projétil subir ($t_1$) e descer $(t_2)$. Esse tempo é determinado em duas etapas:

1) Subida ($t_1$)

A velocidade no topo (altura máxima) é nula, então usamos a equação:

$v_y = v_{0_{y}} - gt \Longrightarrow 0 = v_{0_{y}} - gt_1 \therefore t_1 = \frac{v_{0_{y}}}{g}$

2) Descida ($t_2$)

Pela simetria da parábola do lançamento em relação ao vértice (ponto máximo / altura máxima), o tempo de descida deve ser idêntico ao tempo de subida e, portanto, $t_2 = t_1 = \frac{v_{0_{y}}}{g}$

Logo, $t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{v_{0_{y}}}{g} + \frac{v_{0_{y}}}{g} = \frac{2v_{0_{y}}}{g}$

Usando esse tempo na equação do alcance, temos:

$A = v_{o_x} \cdot t_{total} = v_{o_x} \cdot \frac{2 v_0_y}{g} = \frac{2(v_0 \cos(\theta))(v_0 \sin(\theta))}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

Dessa forma, o alcance dos lançamentos depende diretamente do ângulo de lançamento $\theta$.

Nos três lançamentos mencionados, a 2° bola foi lançada mais distante porque o seu ângulo de lançamento foi 45°, e $\sin (2 \cdot 45) = \sin (90) = 1$ é o maior valor que a função seno pode assumir.

Utilizando os ângulos do 1° e 3° lançamento, o alcance será igual e ambos menores que o do 2° lançamento, isso porque

$\sin (2 \cdot 30) = \sin(60) = \frac{\sqrt{3}}{2}\\\\\sin(2 \cdot 60) = \sin(120) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Como os senos são iguais, os alcances para uma mesma velocidade e gravidade também serão iguais.

Obs.: ambos são menores do que o alcance de lançamento de ângulo 45° porque o seno de 60° e o seno de 120° são menores do que o seno de 90°.

Isso já explica a resposta para as letras a) e b).

Para explicar a letra c) você deve aplicar Torricelli para avaliar qual equação que determina a altura máxima.

$v_y^2 = v_0_y^2 - 2g\Delta y$

Como na altura máxima a velocidade é nula, então:

$0 = v_0_y^2 - 2g\Delta y \Longrightarrow \Delta y = \frac{v_0_y^2}{2g} = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g}$

Para $\theta$ igual a 30°, 45° e 60°, $\sin(\theta)$ é igual a 0.5, 0.7 e 0.86, respectivamente, o que indica que a altura máxima foi atingida pelo lançamento de ângulo 60°, isto é, o terceiro.