Question

Determine a área delimitada pelas circunferências (λ1) x2 + y2 – 4.x – 6.y + 9 = 0 e a
circunferência (λ2) x
2 + y2 – 4.x – 6.y + 4 = 0.

Answer 1

Primeiramente devemos descobrir as posições dessas duas circunferências.
Vamos determinar o centro e o raio de cada uma delas.
λ₁: x² + y² - 4x - 6y + 9 = 0 => x² - 4x + y² - 6y = - 9
λ₂: x² + y² - 4x - 6y + 4 = 0 => x² - 4x + y² - 6y = - 4
Vamos completar o quadrado de cada uma delas
Somar 4 e 9 aos dois membros
(x² - 4x + 4 ) + (y² - 6y + 9)= -9 + 4 + 9
(x² - 4x + 4 ) + (y² - 6y + 9)= -4 + 4 + 9
Fatorando
(x - 2)² + ( y - 3)² = 4 => C₁ ( 2, 3)  e  r = √4 => r = 2
(x - 2)² + ( y - 3)² = 9 => C₂ (2, 3)   e  r = √9 => r = 3

Elas são  concêntricas(mesmo centro). Imagine a de raio menor dentro da de raio maior. Devemos calcular a área da coroa circular, ou seja a diferença entre as áreas delas.

A₁ = π R² = Π . 3² = 9π
A₂ = π r²  = Π . 2² = 4π

Logo A₁ - A₂ = 9Π - 4Π = 5π