Question

Um triângulo retângulo possui lados medindo a, b, c. com c > b > a. Além disso, é conhecido que a/b = 1 /2 Se teta 1 e teta 2 são ângulos do triangulo que não são retos, quanto vale seno de teta1 mais seno de teta2?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\boxed{\large{\mathbf{ sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}}}}$

Solução:

Siga a figura com os dados do enunciado

Como c>b>a, ou seja c é o maior lado do triangulo, então c é a hipotenusa

Aplicando o teorema de Pitágoras temos:

$c^2=a^2+b^2$

Do enunciado temos que $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$, multiplique cruzado e você vai achar que $b=2a$, substituindo no teorema de Pitágoras:

$c^2=a^2+(2a)^2\\\\\\c^2=a^2+4a^2\\\\\\c^2=5a^2\\\\\\c=\sqrt{5a^2}\\\\\\c=a\sqrt{5}$

Segue que

$sen(\theta_1)=\dfrac{b}{c}$

e também

$sen(\theta_2)=\dfrac{a}{c}$

a soma será

$sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{c}\\\\\\\Rightarrow sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{b+a}{c}$

Seja $b=2a$ e $c=a\sqrt{5}$, então

$sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{2a+a}{a\sqrt{5}}\\\\\\\Rightarrow sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{3\not\!{a}}{\not\!{a}\sqrt{5}}\\\\\\\Rightarrow sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\\\\\\Rightarrow sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$