Question

Segue imagem da questão.

Qual das alternativas está correta?
a. I e IV
b. II e III
c. III e IV
d. I, II e IV
e. II, III e IV

Answer 1

As afirmações corretas são I, II e IV, portanto alternativa D

Antes de seguir darei a regra para provar que um limite não existe.

$\displaystyle\text{se existirem duas curvas, tal que }\text{ \lim_{t\to t_0} (\gamma_1(t)) \ne \lim_{t\to t_0}(\gamma_2(t)) ent\~ao}\\ \nexists \lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} (x_0, y_0)$

I.

Para provar que um limite não existe, temos que achar uma parametrização dele que dê um resultado diferente, então dado o limite:

               $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) \Longrightarrow \lim_{(x,y)\to (0,0)} x^2\sin \frac{1}{y}\end{aligned}$

Vamos utilizar a parametrização $\large\gamma(t) = (t, t)$, logo:

              $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(\gamma(t)) \Longrightarrow \lim_{t\to 0} t^2\sin\frac{1}{t} = 0\end{aligned}$

Agora vamos utilizar outra parametrização $\large\gamma_2(t) = (t^{-2}, t^{-2})$:

                   $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(\gamma_2(t)) \Longrightarrow \lim_{t\to 0} \frac{1}{t^2}\sin t^2 \end{aligned}$

Agora nesse segundo limite, note que temos o limite trigonométrico fundamental:

                                            $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{t \to0} \frac{\sin(t)}{t} = 1\end{aligned}$

Portanto:

                     $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(\gamma(t)) \ne \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(\gamma_2(t))\end{aligned}$

Logo o limite não existe.

II.

Dada a função:

                                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}f(x,y) = \frac{e^{2x+4xy-8y}}{y^2-1}\end{aligned} }$

A função no numerador não há nenhuma restrição, mas para a função no denominador temos que garantir que seja diferente de 0, logo:

                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}y^2 - 1 \ne 0 \\\\y^2 \ne 1\\\\y \ne \pm 1\end{gathered}$

Portanto, de fato o domínio da função é:

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}D = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2\, |\, y \ne \pm1 \right\}\end{aligned} }$

III.

Se temos as funções:

               $\Large\displaystyle\begin{aligned}g(x, y) = x^2 + xy -1 \qquad f(u) = \ln(u)\end{aligned}$

Então a função composta é dado por:

                        $\Large\displaystyle\begin{aligned}(f \circ g)(x,y) = \ln(x^2+xy-1)\end{aligned}$

   

Logo vemos que essa afirmação não é verdadeira, provalmente esse limite não existe, mas de qualquer forma, quando (x, y) → (1, 0), x² + xy - 1 se aproxima de 0, e lim x → 0 ln(x) = -∞ que está muito longe de 1.

IV.

Dada a função:

                 $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x, y, z) = x^2y^3 - x^3z^2 + 3xz + 2xy\\ \\\end{aligned}$

A função é composta pela soma de 4 funções contínuas, logo também é contínua, e não nenhuma restrição em seu domínio, então de fato ele é $\large\mathbb{R}^3$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.