Question

Cálculo Diferencial
Segue imagem da questão

Answer 1

Vamos enunciar o Teorema de Green:

"Seja C uma curva fechada orientada simples e suave em quase todo lugar, e seja D a região limitada por essa curva. Se P e Q tiverem derivadas parciais contínuas em D, então

$\int_C P\,dx + Q\, dy = \int\!\!\!\int_D \left({\partial Q\over \partial x} - {\partial P\over \partial y}\right) \,dA$"

Podemos identificar da integral em questão que $P = y^2$ e $Q = x$. Logo, temos ${\partial Q\over \partial x} = 1$ e ${\partial P\over \partial y} = 2y$. Assim, temos

$\oint_{\omega} y^2\,dx + x\, dy = \int\!\!\!\int_{quadrado} \left(1 - 2y) \,dA$

Na região do quadrado, temos -2 < y < 2 e -2 < x < 2. Estes serão os limites!

$\int\!\!\!\int_{quadrado} (1 - 2y) \,dA = \int\limits^{2}_{-2} \int\limits^{2}_{-2} (1 - 2y) \, dx dy$

$\int\limits^{2}_{-2} \int\limits^{2}_{-2} (1 - 2y) \, dx dy = \int\limits^{2}_{-2} (4 - 8y) \, dy = 16$.