Questão 01 - Observe a reta real abaixo. O intervalo que representa essa reta é:
(A) ]-∞, a]
(B) ]-∞, a[
(C) ]a, +∞]
(D) [a, +∞[
Respostas
Recentemente, nós estudamos aqui no blog todos os intervalos reais, e com isso, descobrimos que existem 3 formas de representá-los. Uma delas, a forma geométrica, é extremamente importante para o texto de hoje: através dela é possível realizar a união, a intersecção, e a diferença entre dois ou mais intervalos facilmente! Por isso, se vocês desejam saber como resolver todas essas operações com intervalos, fiquem por aqui! Vamos ver uma série de exemplos que irão lhes ajudar, e muito, a solucionar as questões do ENEM e dos vestibulares que envolvem o assunto!
É fato que as operações com intervalos aparecem muito na resolução de inequações. Também não podemos negar, que de uma forma ou de outra, todos os assuntos da matemática do ensino médio se relacionam uns com os outros, e compreender bem essa relação pode ser o segredo para tirar aquela nota no ENEM e nos vestibulares mais tradicionais do país! Pois é justamente nesse sentido que o Professor Ferretto pode lhes ajudar! Na sua plataforma de ensino online, ele disponibiliza todo o conteúdo da matemática e da física do ensino médio, sempre de forma didática e com foco na interpretação das questões! São mais de 1000 exercícios resolvidos em vídeo, sem contar os simulados que são disponibilizados semanalmente! Acessem o site, e conheçam todos os benefícios que vocês garantem ao assinar a plataforma!
Beleza, pessoal? Então, vamos começar! Neste texto, nós utilizaremos os 3 intervalos reais listados abaixo como base para exemplificar as operações de união, intersecção e diferença entre os intervalos.
A = {x ∈ ℝ | –1 ≤ x < 4}
B = {x ∈ ℝ | x > 2}
C = ] –∞, 3]
E aí, o que acharam deles? Vejam que A e B estão sendo representados na forma de conjunto, enquanto C está sendo representado na forma de intervalo em si. Observem também, que o intervalo A é fechado a esquerda e aberto a direita, enquanto os intervalos B e C são infinitos, indo em direção ao “mais infinito” e ao “menos infinito” respectivamente. Mas como foi dito logo no início do texto, é a representação geométrica que pode nos ajudar a realizar as operações entre esses intervalos. Por isso, nossa primeira tarefa de hoje será obter a representação geométrica de A, B, e C.
Agora nós já estamos prontos para realizar qualquer operação entre A, B e C. E para que tudo seja feito corretamente, é importante seguir os passos listados na sequência:
1º: Posicionar a representação geométrica dos dois ou mais intervalos envolvidos uma embaixo da outra, e logo abaixo disso, traçar uma reta que representará geometricamente o resultado da operação.
2º: Traçar um pontilhado vertical na região de cada bolinha que representa os valores de referência dos intervalos.
3º: Compreender direitinho o conceito da operação que será realizada, seja ela a união, a intersecção ou mesmo a diferença entre dois ou mais intervalos, e por fim, representar o resultado.
Entendido? Então podemos partir para o primeiro exemplo. Vem comigo aqui!
1. A ⋃ B
Vejam que os intervalos envolvidos neste caso são o A e o B. Portanto, vamos redesenhar a representação geométrica de cada um deles, uma embaixo da outra, e logo abaixo delas colocaremos uma reta que representará o resultado da operação.
Através da imagem acima, é possível perceber que os valores de referência dos intervalos envolvidos na operação são –1, 2 e 4. Vamos traçar um pontilhado vertical na região de cada bolinha que representa esses valores, pois isso facilitará a resolução da operação logo mais.
Agora, é chegada a hora em que finalmente iremos realizar a operação em si! O símbolo ⋃ representa a união, cujo conceito é o seguinte:
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ou a A ou a B.
Segundo essa definição, qualquer valor numérico que pertença ou a A ou a B, ou aos dois intervalos, fará parte da união entre estes dois intervalos. Voltando a imagem acima, nós podemos perceber que os valores de A iniciam em –1, incluindo o próprio –1 e vão até o 4 sem incluí-lo. Por sua vez, o intervalo B inicia em 2, sem incluí-lo, e segue rumo ao mais infinito. Aí é muito importante repararmos, que apesar do 4 não fazer parte de A, ele faz parte do intervalo B, da mesma forma que embora o valor 2 não faça parte de B, ele faz parte do intervalo A. Como na operação da união, basta que o valor numérico se localize em um dos intervalos para fazer parte da solução, o conjunto A ⋃ B será formado por todos os valores reais maiores ou iguais a –1.
A ⋃ B = [ –1, +∞ [ = {x ∈ ℝ | x ≥ –1}
Neste caso, como deveremos calcular a diferença entre os intervalos B e C, nós precisaremos descontar do intervalo B os valores que também pertencem ao intervalo C. Visto isso, podemos observar na imagem acima, que os únicos valores de B que também pertencem a C são aqueles que começam depois de 2, já que 2 não pertence a B, e vão até 3, incluindo o próprio 3, uma vez que ele pertence a ambos os intervalos.
Explicação passo-a-passo:
Não sei se ta certa mais dei exemplos.