Question

Responda o que se pede.
a) Determine a distância do vértice da parábola de equação y=f(x)= - x2 + 8x – 17 ao eixo das abscissas.
b) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C(x) = 2x2 -100x + 5000. Determine o valor do custo mínimo.

Answer 1

Dada uma função quadrática na forma

$y=ax^{2}+bx+c\;\;\;\;(a \neq 0),$


o valor extremo da função (valor máximo ou valor mínimo) é dado por

$y_{_{V}}=-\dfrac{\Delta}{4a}$

onde $\Delta=b^{2}-4ac$


Se $a>0,$ então $y_{_{V}}$ será o valor mínimo;

Se $a<0,$ então $y_{_{V}}$ será o valor máximo.


a) $y=-x^{2}+8x-17\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{\begin{array}{l} a=-1\\b=8\\c=-17 \end{array} \right.$

A distância do vértice da parábola ao eixo das abscissas (eixo $x$) é o módulo do valor extremo da função (nesse caso o valor máximo, pois $a=-1<0):$


Encontrando o discriminante $\Delta:$

$\Delta=8^{2}-4\cdot(-1)\cdot (-17)\\ \\ \Delta=64-68\\ \\ \Delta=-4$


O valor máximo é

$y_{_{V}}=-\dfrac{\Delta}{4a}\\ \\ \\ y_{_{V}}=-\dfrac{(-4)}{4\cdot (-1)}\\ \\ \\ y_{_{V}}=\dfrac{4}{-4}\\ \\ \\ y_{_{V}}=-1$


A distância do vértice até o eixo das abscissas é

$|y_{_{V}}|=|-1|=1\mathrm{\;u.c.}$


b) $C(x)=2x^{2}-100x+5\,000\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{\begin{array}{l} a=2\\b=-100\\c=5\,000 \end{array} \right.$

Encontrando $\Delta:$

$\Delta=(-100)^{2}-4\cdot 2\cdot 5\,000\\ \\ \Delta=10\,000-40\,000\\ \\ \Delta=-30\,000$


O custo mínimo é o valor mínimo da função $C(x):$

$C_{\text{min}}=-\dfrac{\Delta}{4a}\\ \\ \\ C_{\text{min}}=-\dfrac{-30\,000}{4\cdot 2}\\ \\ \\ C_{\text{min}}=\dfrac{30\,000}{8}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}C_{\text{min}}=3\,750,00 \end{array}}$